§ 22. Вынужденные колебания

Рассмотрим колебания, когда на систему, кроме квазиупругой

силы и силы трения, действует и вынуждающая сила, меняющаяся по

гармоническому закону с частотой W:

F = F₀ cosW×t , (22.1)

где F₀ - амплитуда вынуждающей силы. В этом случае установившиеся

колебания будут иметь частоту, равную частоте вынуждающей

силы:

x=Acos(Wt+a)

Расчет показывает, что амплитуда А и начальная фаза a определяются

соотношениями:

F₀/m

(22.2)

(ω₀ - Ω² )+ 4β²Ω²

2βΩ

(22.3)

Ω² - ω₀

63

Из уравнения (22.2) следует: амплитуда вынужденных колебаний прямо

пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и зависит от частоты

этой силы W. На рис.

(22.1) показана эта зави-

симость для различных

значений b. Видно, что

при некоторой частоте W_р

амплитуда вынужденных

колебаний имеет макси-

мум. Это явление называ-

ется резонанс, а частота

W_р - резонансной часто-

той. Так как при W_р

А(W) имеет максимум, то

в этой точке производная

= 0

Ω_р = ω₀ - 2β² . (22.4)

Чем больше b, тем меньше W_р. При небольших b W_р»w₀, т.е. резонанс

наступает тогда, когда частота вынуждающей силы близка к собственной

частоте.

Подставив (22.4) в (22.2), найдем амплитуду при резонансе A_p:

F₀/m

4β⁴ + 4β²(ω₀ - 2β² )

F₀/m

(22.5)

2β ω₀ - β²

64

§ 23. Волны. Волны поперечные и продольные. Волновая

поверхность, фронт волны. Уравнение плоской волны,

длина волны, волновое число. Фазовая скорость

Если в среде возбудить колебания частиц, то вследствие взаимо-

действия между частицами, эти колебания будут передаваться от частице

к частице. Процесс распространения колебаний в пространстве называет-

ся волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекают-

ся волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания

около положения равновесия. Волна называется поперечной, если коле-

бания частиц перпендикулярны направлению распространения волны. В

продольной волне - частицы колеблются вдоль направления распростра-

нения волны. В жидкостях и газах возникают только продольные волны, в

твердых телах и продольные и поперечные.

Рис.23.1

На рис. 23.1 показан процесс распространения поперечных коле-

баний вдоль цепочки частиц, вызванный колебанием первой из этих ча-

стиц (источник волны - первая частица). За время T/4 первая частица из

положения равновесия сместиться на расстояние, равное амплитуде коле-

баний. К концу этого промежутка времени в колебания вовлекутся все

частицы, до той, которая обозначена номером 2 на рис. 23.1.а. Таким об-

разом, частица 2 начнет колебания, через время T/4 после начала колеба-

ний первой частицы. Через время T/2 первая частица вернется в положе-

65

ние равновесия. Для второй частицы время от начала ее колебаний соста-

вит T/4 и, следовательно, она будет в положении максимального отклоне-

ния. При этом в колебания вовлекутся все частицы, до той, которая обо-

значена номером 3 на рис. 23.1.б. Частица 3 начнет совершать колебания

через время T/2 после начала колебаний 1 частицы. Рассматривая процесс

дальше, увидим, что через время t = T колебания дойдут до частицы с

номером 5.

На рис. 23.1 показано распространение колебаний вдоль оси х. В

действительности в колебания вовлекаются частицы расположенные в

некотором объеме. Геометрическое место точек, до которых доходят ко-

лебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Геометри-

ческое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волно-

вой поверхностью. Очевидно, что отклонения точек волновой поверхно-

сти от положения равновесия одинаковое, т.к. фаза колебаний этих точек

одна и та же. Волновых поверхностей можно выделить сколь угодно мно-

го. По форме волновой поверхности различают плоские волны (волновая

поверхность - плоскость), сферические волны (волновая поверхность -

сфера) и т.п.

Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное

периоду колебаний частиц, называется длиной волны. Так за время

волна проходит расстояние равное длине волны , то скорость волны u

равна:

u=l/T=ln . (23.1)

Уравнением волны называется выражение, которое дает возмож-

ность рассчитать смещение колеблющейся частицы как функцию ее коор-

динат и времени.

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся

вдоль оси y (рис. 23.2). На рис. 23.2 плоскость 1,

расположенная в начале координат, является ис-

точником волны. Т.к. волна плоская, то отклонение

x всех точек источника от положения равновесия

для некоторого момента времени одинаковое:

x=Acos(wt+a)

Плоскость 2 - некоторая волновая поверхность -

отклонение точек этой поверхности от положения

равновесия равны друг другу. Следовательно, для этой поверхности x

зависит только от y и t (т.е. x(y,t)). Найдем эту зависимость. Из объяс-

нений к рис. 23.1 следует, что точки волновой поверхности (плоскость 2)

колеблются с той же частотой, что и точки источника, но начинают коле-

бания на некоторое время t позже. Если t - это время колебаний точек

66

источника, то время колебаний точек волновой поверхности равно t-t. Из

сказанного и уравнения (23.2) получим:

x(y,t) = Acos[ω(t - τ) + α]

Возвращаясь к рисункам (23.1) и (23.2), можно найти t :

τ =

Следовательно: x(y,t) = Acos^ω(t - )+ α^ (23.3)

 

Это есть уравнение плоской волны распространяющаяся вдоль оси y, (ес-

ли волна распространяется в сторону противоположную y , то в уравне-

нии (23.2) надо y заменить на -y).

Преобразуем уравнение (23.3):

ω 2π 2π

u Tu λ

Эту величину называют волновым числом k

2π ω

(23.4)

Часто удобно рассматривать волновой вектор k - это вектор, направлен-

ный по нормали к волновой поверхности в сторону распространения вол-

ны и числено равный 2p/l.Подставим (23.4) в (23.3):

x=Acos(wt-ky+a) (23.3.а)

Отклонение от положения равновесия х(y,t) функции двух пе-

ременных. Поэтому удобно строить график этой функции либо для фик-

сированного некоторого значения y₀ (x(y₀,t)), либо для фиксированного

некоторого значения t₀ (x(y,t₀)),. В первом случае это будет график ко-

лебаний (см. § 17) для частицы с координатами у₀. Во втором случае по-

лучим график, показывающий отклонение частиц от положения равнове-

сия в некоторый момент времени t₀, (рис. 23.3) - график волны.

Рассмотрим некоторую волновую поверхность. Фаза колебаний

частиц этой поверхности равна:

j₀= wt-ky+a (23.5)

Видно, что данное значение фазы с изменением времени t будет оста-

ваться неизменным (j₀=const), если увеличивается y. Т.е. волновая по-

верхность, частицы которой имеют фазу j₀, должна двигаться вдоль оси

y (подобно движению “круга” на воде от брошенного камня). Скорость

X

l

A

A

движения волновой поверхности называется фазовой скоростью u_ф. Для

того что бы найти u_ф продифференцируем уравнение (23.5):

0 = ω × dt - kdy ⇒ =

Т.к. u = ,

ω

то (23.6)

k

Для рассматриваемого случая монохроматической волны, скорость волны

и фазовая скорость совпадают (уравнения (23.4) и (23.6)).

68

Глав 6. Принцип относительности Галилея.

Элементы специальной теории относительности