Тема 3. Одномерные случайные величины (св) и их числовые характеристики

1. Функция распределения и ее свойства.

2. Дискретные СВ.

3. Непрерывные СВ. Плотность вероятности.

4. Числовые характеристики одномерной СВ.

5. Основные вероятностные модели распределения СВ.

Определение. Случайной величиной Х называется величина, которая в результате эксперимента может принимать некоторые значения, причем неизвестные до проведения эксперимента.

Случайная величина (СВ) Х называется дискретной, если множество значений, которое она может принимать является конечным или может быть пронумеровано натуральными числами (т.е. является счетным множеством).

Законом распределения дискретной СВ Х называется совокупность пар чисел , где - возможные значения СВ Х, а - вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .

Простейшей формой задания закона распределения дискретной СВ является таблица, которую называют рядом распределения.

Функцией распределения СВ Х называется функция действительного переменного , определяющая вероятность того, что СВ Х примет в результате эксперимента значение, меньшее этого числа , т.е. .

Основные свойства функции распределения.

1. .

2. - неубывающая функция, т.е. для любых таких, что имеет место .

3. .

4. .

5. непрерывна слева в любой точке .

Функция распределения для дискретной СВ Х вычисляется по формуле , т.е. она разрывна и является ступенчатой функцией.

Непрерывной СВ Х называют такую СВ, множество возможных значений которой – некоторый числовой интервал (или объединение интервалов).

Распределение непрерывной СВ Х может так же определяться функцией (плотность вероятности), которая определяется как .

Так как , то вероятностный смысл плотности вероятности состоит в том, что ее значение равно пределу отношения вероятности попадания СВ Х в интервал к длине этого интервала при стремлении последнего к нулю. Функция распределения и плотность вероятности связаны между собой следующими соотношениями:

.

Основные свойства плотности вероятности .

1. .

2. , т.е. площадь под кривой равна 1.

3. .

Математическим ожиданием М(Х), СВ Х называется число описывающее центр распределения СВ Х и вычисляемое по формуле

Свойства математического ожидания.

1. , где С – константа.

2. .

3. .

4. , где СВ Х и СВ Y взаимно независимые.

Дисперсией D(X) СВ Х называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания .

Дисперсия вычисляется по формулам:

или

Средним квадратическим отклонением СВ Х называется арифметический корень из дисперсии .

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют рассеивание СВ вокруг ее среднего значения.

Свойства дисперсии.

1. , где С – константа.

2. .

3. , где СВ Х и СВ Y взаимно независимые.

Пример 3.1. Непрерывная СВ Х распределена по закону

Найти .

Решение. 1). Используя свойство плотности вероятности, получим равенство

.

Итак,

2) будем находить, пользуясь соотношением .

а)

б) ;

в)

Итак,

3)

.

Пример 3.2. Имеется 6 ключей, из которых только 1 подходит к замку. Составить ряд распределения числа попыток при открывании замка, если ключ, не подошедший к замку, в последующих опробованиях не участвует. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. Опробования открывания замка заканчиваются на k-й попытке, если первые k-1 попытки не привели к успеху, а k-я попытка закончилась успешно.

Случайная величина Х – число попыток при открывании замка – может принимать следующие значения: = 1, = 2, = 3, = 4, = 5, = 6. Вероятности этих значений можно определить по формуле .

Таким образом, возможные значения случайной величины равновероятны. Запишем ряд распределения данной дискретной СВ:

	1	2	3	4	5	6
	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

На основании этого распределения получим