2.3. Определение напряжений в грунтax оснований от дейcтвия внешних нагрузок

Напряжения в массиве грунта, находящегося под действием внешней нагрузки, определяют с помощью решений теории упругости.

Для оценки несущей способности и деформирования оснований необходимо уметь определять напряжения, возникающие в различных точках массива грунта, от внешних нarрузок. В этой связи наиболее важными являются вертикальные напряжения, возникающие в основаниях.

При действии вертикальной силы, приложенной к границе грунтового основания (рис. 2.6, а), вертикальные напряжения в точке М определяют из выражения

σ_zp=kF/z² (2.1)

где k=(3/2)π[1+(r/z)²]^5/2 - безразмерный коэффициент, зависящий от соотношения r/z; F - вер­тикальная сила; z и r- соответственно вертикальная и горизонтальная координаты точки М.

При действии нескольких сосредоточенных сил (рис. 2.6, б) напряжения определяют на основе принципа независимости действия сил:

σ_zp=Σk_iF_i/z²

Если к поверхности основания приложена распределенная по некоторой площади внешняя нагрузка, закон изменения которой произволен (рис. 2.7), то напряжения в точке М определяют следующим образом. Загруженную площадъ разбивают на определенное количество элементарных участков квадратного или прямоугольного очертания, в пределах которых распределенную нагрузку заменяют сосредоточенной силой

F_i= p_ib_;Z_i' (2.3)

Точность расчета, выполняемого с помощью данного метода, зависит от размеров элементарных участков и возрастает при увеличении их числа и удалении от точек приложения элементарных сил.

Напряжения, возникающие в грунтах в точках, находящихся на вертикали, проходящей под центром равномерной нагрузки, распределенной по прямо угольной площади (рис. 2.8, а), определяют из выражения

σ_zp=αp (2.4)

где а - коэффициент рассеивания напряжений, принимаемый в со­ответствии с данными табл. 2.1 в зависимости от соотношений ζ = 2z/ь и η= l/ ь (b и l - соответственно ширина и длина площади нагружения, z – вертикальная координата точки, где определяются напряжения); р - давление, приложенное к верхней плоскости основания.

Для площади загружения, представляющей собой правильный многогранник площадью А, значения а. можно определить, как для круглой площади загружения радиусом r=√A/b. При промежуточных значениях С и " коэффициент а. находят линейной интерполяцией.

			Значение α для фундаментов
ζ=2z/b	круглых	Прямоугольных с отношением сторон η=l/b							Ленточных при η≥l0
		1	1,4	1,8	2	2,4	3,2	5
0,0	1,009	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000
0,4	'0,949	0,960	0,972	0,975	0,976	0,976	0,977	0,977	0,977
0,8	0,756	0,800	0,848	0,966	0,870	0,876	0,879	0,881	0,881
1,2	0,547	0,606	0,682	0,717	0,727	0,740	0,749	0,754	0,755
1,6	0,390	0,449	0,532	0,578	0,593	0,612	0,630	0,639	0,642
2,0	0,285	0,336	0,414	0,463	0,481	0,505	0,529	0,545	0,550
2,4	0,214	0,257	0,325	0,374	0,392	0,419	0,449	0,470	0,477
2,8	0,165	0,201	0,260	0,304	0,321	0,350	0,383	0,410	0,42С
3,2	0,130	0,160	0,210	0,251	0,267	0,294	0,329	0,360	0,374
3,6	0,106	0,130	0,173	0,209	0,224	0,250	0,285	0,320	0,337
4,0	0,087	0,108	0,145	0,176	0,190	0,214	0,248	0,285	0,306
4,4	0,073	0,091	0,122	0,150	0,163	0,185	0,218	0,256	0,280
4,8	0,062	0,077	0,105	0,130	0,141	0,161	0,192	0,230	0,258
5,2	0,053	0,066	0,091	0,112	0,123	0,141	0,170	0,203	0,239
5,6	0,046	0,058	0,079	0,099	0,108	0,124	0,152	0,189	0,223
6,0	0,040	0,051	0,070	0,087	0,095	0,110	0,136	0,172	0,208
6,8	0,032	0,040	0,055	0,069	0,076	0,088	0,110	0,144	0,184
7,6	0,024	0,032	0,044	0,056	0,062	0,072	0,091	0,123	0,166
8,4	0,021	0,026	0,037	0,046	0,051	0,060	0,077	0,105	0,150
9,2	0,018	0,022	0,031	0,039	0,043	0,051	0,065	0,091	0,137
10	0,015	0,019	0,026	0,033	0,037	0,044	0,056	0,079	0,126
12	0,009	0,015	0,020	0,026	0,028	0,034	0,044	0,060	0,106

'.

По данным табл. 2.1 можно определить напряжения и в точках, находящихся на вертикали, проходящей под угловыми точками прямоугольной площадки загружения (точка В на рис. 2.8, а), при этом ζ = z/ь. Напряжения под угловыми точками находят по формуле

σ_zpc=O,25ap (2.5)

Возможность находить напряжения в угловых точках позволяет определить напряжения в любой точке грунтового основания методом угловых точек. Если- точки, в которой требуется определить напряжение, находится в пределах площади загружений (точка М на рис. 2.8, 6), то площадь загружения разбивают на четыре прямоугольника: АЕМК. EBGM. КМFD и MGCF. для каждого прямоугольника точка М будет угловой, тогда, напряжение можно найти суммированием от четырех площадей зarружения I, II, III и IV:

σ_zp=σ_zpI+σ_zpII +σ_zpIII+σ_zpIV=0,25p(α_I +α_II +α_III+α_IV)

Если же точка М находится вне пределов зarруженной площади ABCD (рис. 2.8, в), тогда ее считают угловой для четырех фиктивных площадей загружения: АЕМК. КМGD. BEMF и FMGC. При этом в пределах I и II зон зarружения направление нагрузки совпадает с направлением заданной, а в пределах III и IV зон принимается обратным исходному и напряжения определяют как

σ_zp=σ_zpI+σ_zpII -σ_zpIII-σ_zpIV=0,25p(α_I +α_II -α_III-α_IV) (2.7)

В случае расположения точки М' вне пределов площади зarружения ABCD, как это показано на рис. 2.8, г, эту точку принимают за угловую для следующих фиктивных площадей загружения: АЕМК, BEMG, DFMK и CFMG. Напряжение находят из выражения

σ_zp=σ_zpI-σ_zpII -σ_zpIII+σ_zpIV=0,25p(α_I -α_II -α_III+α_IV) (2.8)

Изменение напряжений в толще основания обычно изображают с помощью эпюр. На рис. 2.9, а показано распределение вертикаль­ных напряжений в массиве грунта от действия полосовой нагрузки, приложенной к границе основaния плоская задача теории упругости). Вертикальные напряжения убывают с глубиной, причем интенсивность уменьшения больше в - ближайшей зоне, примыкающей к границе загруженного основания. Распределение вертикальных напряжений по горизонтальным плоскостям показано на рис. 2.9, б, они убывают в горизонтальном направлении.

Часто об интенсивности напряженного состояния грунтов судят по линиям равных вертикальных напряжений (изобарам), показанных на рис. 2.9, в.

Приведенные выше формулы для определения напряжений спра­ведливы не только для однородных оснований. Они могут быть использованы и для слоистых оснований при условии, что свойства отдельных пластов грунта незначительно отличаются друг от друга для слоистых оснований, свойства которых существенно различны, например основания, подстилаемого скальными грунтами, распределение напряжений будет иным из-за концентрации напряжений, которую необходимо учитывать в расчетах (рис. 2.10).

Для нагрузок, распределенных по поверхности основания по треугольному закону (рис. 2.11), вертикальные напряжения в толще основания определяют по формуле

σ_zp=k_zp (2.9)

где k_z - коэффициент, зависящий от соотношений ζ = z/b и п= у/b;

р - максимальное значение треугольной нагрузки. В основаниях кроме напряжений от внешней нагрузки, создава­емой фундаментами здaний и сооружедий, в каждой точке действуют вертикальные напряжения и от собственного веса вышележащих слоев, которые можно найти из выражения

σ_zp =Σγ_ih_i

где п - количество слоев грунта; γ_i - удельный вес грунта i-го слоя; ; h_i - толща пласта i-го слоя грунта.

Из формулы (2.10) следует, что для однородного основания эпюра напряжений от собственного веса имеет вид треугольника для слоистого основания эпюра примет вид ломаной линии вследствие различных значений удельного веса отдельных пластов грунта (рис. 2.12).

В водопроницаемых грунтах, залегающих ниже отметки уровня подземных вод WL, при вычислении их удельного веса необходимо учитывать взвешивающее действие воды, определяемое согласно закону Архимеда.

В водонепроницаемых грунтах (глинах и СУГЛИВlCах в твердом или полутвердом состоянии), находящихся ниже уровня подземных вод, будет возвышать дополнительное гидростатическое давление от столба воды, расположенного над давным слоем.

При проектировании взаимодействие между основаниями и фундаментами и их влияние друг на друга учитывают с помощью контактных давлений, возникающих в грунтах по подошве фундамента.

Выше были рассмотрены методы определения напряжений в массиве грунта от действия нагрузок, которые способны следовать за перемещениями грунта, формируя так называемую чашу оседания, поскольку напряжения под центром нагрузки больше, чем по краям (рис. 2.13, а).

Передача давления на грунт основания через подошву жесткого фундамента при центральноприложенной нагрузке вызовет равномерную осадку грунта. Равномерность осадки вызовет под подошвой фундамента неравномерное распределение давления. Имеется теоретическое решение задачи о распределении напряжений по подошве круглого абсолютно жесткого штампа:

p=p₀/(2√1-R²/r²)

где Ро - среднее давление по подошве штампа; R - расстояние ОТ оси симметрии; r - радиус подошвы фундамента.

Из этой формулы следует, что под центром штампа давление; будет иметь минимальное значение, а под краями – бесконечно большое (кривая 1 на рис. 2.13, 6), однако в реальных условиях грунты оснований не могут воспринимать бесконечно большие напряжения и их величина под краями штампа всегда имеет конечное значение (кривая 2).

При увеличении внешней нагрузки под краями штампа начинают развиваться зоны пластических деформаций, что вызывает перераспределение напряжений под подошвой с более нагруженных участков на менее нагруженные, и эпюра давлений приобретает седлообразное очертание (кривая 3). При дальнейшем возрастании нагрузки, приближающейся к предельному значению, эпюра давления становится колокообразной (кривая 4}. Очертание эпюры давления под подошвой фундамента зависит от внешней нагрузки развития зон пластических деформаций в грунте. В практических расчетах давление под подошвой фундамента условно усредняют и считают равномерно распределенным (линия 5).

Характер распределения давления по подошве внецентренно нагруженного фундамента в зависимости от внешней нагрузки показан на рис. 2.13, в. При проектировании внецентренно нагруженных фундаментов давление по подошве считается распределенным по закону трапеции (линия 5).

Осреднение давления по подошве фундамента и принятие допущения о его линейном распределении оправданы для расчета оснований и подбора размеров фундаментов, имеющих относительно высокую жесткость, поскольку в данном случае для основания контактные давления являются местной нагрузкой и существенным для него окажется не характер распределения, а величина и направление равнодействующей давления. Последние факторы и окажут решающее влияние на величину и характер деформации основания.

Для расчета и проектирования гибких фундаментов, имеющих сравнительно небольшую жесткость, следует учитывать очертание эпюры контактных давлений, так как в данном случае осреднение давления приведет к большим погрешностям в расчетах.

2.4. Предельные давления и предельные

деформации оснований

Для оценки прочности и устойчивости оснований фундаментов в настоящее время используют теорию предельного напряженного состояния. В основу этой теории положено понятие о предельном равновесии грунта.

Предельным равновесием основания называют такое напряженное состояние, при котором любое достаточно малое увеличение внешней нагрузки или малейшее уменьшение прочности грунта приведет к нарушению установившегося равновесия и вызовет потерю устойчивости грунта, сопровождающуюся выпором грунта из-под подошвы фундамента со значительным нарастанием осадки.

Теория предельного состояния рассматривает задачи устойчивости грунтов в основаниях фундаментов.

Обычно нарушение существующего равновесия сопровождается выпором грунта из-под фундаментов с их большой ocaдкой, сползанием масс грунта в откосах, значительным смещением конструкции, ограждающих массив грунта или заделанных в грунте.

Поскольку существенные смещения для подавляющего большинства сооружений недопустимы,. весьма важно правильно оценивать мaксимально возможную нагрузку данного направления на массив грунта, при которой еще соблюдается его равновесие – не наступает потери устойчивости.

В теории предельного состоянии грунтов рассматриваются задачи устойчивости грунтов в основании сооружений и в откocax, определения давления грунта на ограждающие конструкции (подпорные cтeнки, обделки тоннелей) и сопротивления грунтов перемещению различных анкеров и ограждающих конструкций.

Начало решению задач предельного равновесия грунтов было положено более двух столетий назад Ш. Кулоном. Около 30 - 40 лет назад советские ученые (В. В. Соколовский, С. С. Голyшкевич, В. Г. Березавцев) разработали эффективные методы решения дифференциальных уравнений устойчивости грунтов в условиях предельного равновесия.

В этих методах используется теории прочности Мора, согласно которой условие предельного равновесия сыпучего грунта при сдвиге выражается формулой (1.14), а при сложном напряженном состоянии - формулой (1.18).

В настоящее вpeмя считают, что теории прочности Кулона, рассматривающая плоскую деформацию, не позволяет решать некоторые задачи устойчивости грунтов в основании сооружений при сложном напряженном состоянии. В связи с этим все большее число исследователей в условиях интенсивного простравственного напряженного состояния учитывают нелинейность зависимости между напряжений и деформациями грунтов и используют более сложные теории прочности с учетом всех компонентов напряжений, их концентрации и явление изменения объема при сдвиге. При потере устойчивости касательные октаэдрические напряжения являются прямой функцией нормальных октаэдрических напряжений.

В случае горизонтальной поверхности грунта, обладающего удельным весом γ, уравнения равновесия в дифференциальной форме,при плоской задаче имеют вид

дδ_z/дz + дτ_yz/дy = γ; дσ_y/дy + дτ_yzд/z = 0

Присоединяя уравнение предельного равновесия (1.21), получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными. Следовательно, плоская задача предельного равновесия статически определима. Решение этих уравнений зависит от граничных условий конкретной задачи. Это решение, основанное на численном интегрировании, выполнено В. В. Соколовским. Таким образом можно решать различные задачи устойчивости массивов грунта для осесимметричной пространственной задачи принимается, что меньшие главныe напряжения равны между собой, т. е. σ₂ = σ₃. С учетом этого В. Г. Березанцевым получено решение дифференциальных уравнений предельного равновесия при осесимметричной загрузке грунтов основания.

В § 2.1 было рассмотрено деформирование оснований под действием возрастающей внешней нагрузки в пределах четырех фаз напряженного состояния грунта и замечено, что в пределах первых двух фаз - упругих деформаций, уплотнения и локальных сдвигов - зависимость между осадкой и действующим давлением считается линейной, а под краями штампа развиваются зоны пластических деформаций.

Условимся, давление под подошвой фундамента считать равномерно распределенным и рассмотрим условие возникновения предельного равновесия в некоторых областях под полосовой равномерно распределенной нагрузкой (плоская задача). Пусть в пределах бесконечной полосы (фундамента) действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью р, по сторонам от которой приложена вертикальная пригрузка γ_α d где γ_d - удельный вес грунта в пределах глубины заложения фундамента d. Оси координат направлены так, как показано на рис. 2.14.

Вертикальное нормальное напряжение от веса грунта в некоторой точке М будет равно σ_zg=γ_dd+γ_z , тогда, допуская предположение о гидростатическом распределении давлений от собственного веса грунта, получим горизонтальное нормальное напряжение σ_yp=σ_zg эти же напряжения будут и главными напряжениями в точке М от действия собственного веса грунта, т. е.

σ_1g = σ_2g = σ_3g = γ_dd + γz (2.13)

где γ_d- удельный вес грунта ниже подошвы фундамента.

Из решений теории упругости известно, что главные напряжения в точке М (рис. 2.14, а), расположенной на биссектрисе угла видимости а от действия равномерно распределенной нагрузки, равны соответственно

σ₁ = (p/π)(α+sinα); σ₃ = (p/π)(α-sinα) (2.14)

Рассмотрим условия возникновения предельного равновесия в точке М. Для этого составим выражения для главных напряжений согласно равенствам (2.13), (2.14):

σ₁ = (p-γ_dd)(α+sinα)/π + γ_dd + γz.

σ₃= (p-γ_dd)(α-sinα)/π + γ_dd + γz

Значения σ₁ и σ₃ подставим в выражение (2.16). При этом учтем, что давление связности грунта р_с=с·ctgφ. После преобразований из условия предельного равновесия (1.19) найдем координату z точки М (см. рис. 2.14, а):

Z = (p-γ_dd)/πγ ·(cosα/sinφ - 1) = 0

Максимальную глубину зоны сдвигов (пластических деформаций) Z_max найдем, взяв производную z по а; и приравняв ее нулю, т. е.

dz/dα = (p - γ_dd)/πγ · (cosα/sinφ - 1) = 0

Это уравнение удовлетворяется, когда cos α = sin φ. из тригоно­метрии известно, что cos α = sin(π/2-α); следовательно φ = π/2-α

Откуда α = π/2- φ .

Подставим это значение а; в выражение (2.16) и, решив его относительно р, получим значение давления, при котором на глубине Z_max возникает предельное напряженное состояние. Это будет критическое давление р для глубины Z_max так как развивающиеся зоны предельного напряженного состояния достигают этой глубины с каждой стороны полосы загружения:

P = π(γz_max + γ_dd + c·ctgφ)/(ctgφ + φ - π/2) + γ_dd

Выражение (2.18) позволяет найти критическое давление, при котором предельное равновесие возникает лишь в точках, расположенных под краями полосовой нагрузки, т. е. для случая Z_max=O.

Исходя из этого, получим выражение для начального предельного давления, вызывающего напряженное состояние грунта:

P_cr1 = π(γ_dd + c·ctgφ)/(ctgφ + φ - π/2) + γ_dd

Однако в практических расчетах используют не критическое давление, а некоторую величину, превышающую его по абсолютному значению, поскольку опытными данными доказано, что развитие небольших по объему областей сдвига под краями фундаментов не нарушает линейной зависимости между напряжениями и деформациями.

Действующими строительными нормами и правилами при расчете осадок допускается развитие зон сдвигов до глубины, не превышающей четверти ширины подошвы фундамента, т. е. при z_max=0,25b (рис. 2.14, 6). Подставляя это значение в формулу (2.18), получим значение критической нагрузки на грунт основания:

p_cr2 = M_γb_γ + M_qdγ_d + M_cc

где

M_γ = 0,25π/(ctgφ + φ - π/2)

M_q = π/(ctgφ + φ - π/2) + 1

M_c = πctgφ/(ctgφ + φ - π/2)

- безразмерные коэффициенты.

Формулу (2.20) используют в практических расчетах для определения расчетного сопротивления грунта при условии введения специальных коэффициентов, называемых коэффициентами условий работы и надежности, которые позволяют учитывать конструктивные особенности фундаментов, специфику конструктивной схемы возводимых зданий и сооружений, а также различие Физико-механических свойств грунтов оснований.

Нормы проектирования требуют ограничивать напряжения по подошве фундаментов расчетным сопротивлением грунта основания, так как это является условием применимости для грунтов модели линейно деформируемой среды, позволяющей получать достоверное значение осадки.

При проектировании фундаментов, расположенных на слабых грунтах, важно знать не только критическое давление на грунты оснований, соответствующее работе грунта в пределах первых двух фаз напряженного состояния, при относительно незначителъных осадках, но и нагрузку, при которой произойдет потеря устойчивости грунта, сопровождающаяся выпором грунта из-под подошвы фундамента и значительным возрастанием осадки.

Предельное значение давления на грунт основания получено в результате решения задачи об условиях предельного равновесия (рис. 2.15), предусматривающих образование областей предельного равновесия 2, зоны уплотнения 3 и поверхностей скольжения 4, по которым происходит перемещение грунта.

При центральном нагружении среднее предельное давление определяют по формуле

p = N_γb_γ + N_qdγ_d + N_cc (2.21)

где N_γ N_q и N_c - коэффициенты несущей способности, определяемые по табличным данным СНиПа. Если давление от внешней нагрузки превысит это значение, то произойдет потеря устойчивости основания.

Выражение (2.21) положено в основу при назначении силы предельного сопротивления оснований, предлагаемой действующими нормами с учетом коэффициентов условий работы и надежности. Предельно возможные давления на грунт оснований, как правило, сопровождаются ростом значительных осадок (исключения составляют только скальные основания), что с точки зрения эксплуатационной пригодности не может служить удовлетворительным условием Функционирования зданий и сооружений, поэтому ограничению по предельному давлению предшествует введение ограничения по предельной осадке. .

Предельно возможные деформации сооружений регламентированы нормами на основании обобщения и статистического анализа практического опыта эксплуатации различных зданий и сооружений.

Средние ocaдки, допускаемые для промышленных и гражданских зданий и сооружений, колеблются в пределах от 10 до 20 см. Большая деформация допускается для зданий, имеющих, большую жесткость для зданий и сооружений, имеющих значительную жесткость (дымовые трубы, силосные корпуса и др.), предельно допустимую осадку можно принимать в пределах 30...40 см. Помимо абсолютных вертикальных деформаций нормами ограничивается и крен зданий.