Построение плана скоростей механизма

Возьмем в виде примера механизм, изображенный на рис. 2, и построим план скоростей для его первого положения, обозначенного индексами O₁A₁B₁D₁E₁.

Построение плана скоростей механизма всегда следует начинать с определения линейной скорости ведущей точки А, принадлежащей кривошипу O₁A, вращающемуся с заданной угловой скоростью w₁. Скорость V_A точки А направлена по касательной к траектории движения, т. е. перпендикулярно к положению кривошипа O₁A₁, причем ее направление соответствует направлению угловой скорости w₁. Величину скорости точки А найдем из выражения

V_A = O₁Aw₁ (3)

где O₁A — длина кривошипа, м;

w₁ = — угловая скорость кривошипа, рад/сек.

Вычисленная скорость V_A на плане скоростей должна быть изображена в виде отрезка произвольной длины, который называется масштабным значением скорости точки и в дальнейшем изложении обозначается индексом .

Поделив величину V_A скорости точки А, выраженную в м/сек, на ее масштабное значение в миллиметрах, определим величину масштаба плана скоростей

= . (4)

Рис.3. План скоростей для первого положения механизма, изображенного на рис.2.

Далее, возьмем на чертеже произвольную точку u и примем ее за полюс плана скоростей (рис. 3). Отложим от u отрезок так, чтобы он был перпендикулярен к положению кривошипа О₁А₁. Направление отрезка должно соответствовать направлению угловой скорости w₁ кривошипа О₁А.

Скорость точки В механизма определяем на основании следующих соображений. Точки А и В принадлежат шатуну АВ, совершающему сложное плоское движение относительно неподвижной системы координатных осей, связанной со стойкой механизма. Это движение шатуна можем представить как сумму двух движений: переносного поступательного движения вместе с точкой А (принимаемой за полюс) и относительного вращения звена АВ вокруг точки А. В этом случае, применяя теорему о сложении скоростей в составном движении, можем написать уравнение для скорости точки В.

= + (5)

где V_A — скорость точки А шатуна, принятой за полюс, т. е., другими словами, скорость шатуна в переносном поступательном движении вместе с точкой А;

V_BA — скорость точки В шатуна в относительном движении, т. е. при повороте шатуна АВ вокруг полюса А;

V_B — абсолютная скорость точки В при движении ее по дуге b—b.

Первый член правой части уравнения (5), т. е. скорость точки А, нанесен на плане скоростей в виде отрезка . Прибавим к нему геометрически второй член уравнения, т. е. вращательную скорость точки В в ее относительном движении, которая неизвестна нам по величине, но известна ее линия действия. Скорость V_BA, как скорость вращательного движения, должна быть перпендикулярна к радиусу вращения, т. е. к шатуну АВ в данном его положении A₁B₁. На основании этого через точку а отрезка на плане скоростей проведем линию действия скорости V_BA ^ к А₁B₁ шатуна АВ.

Абсолютная скорость V_B точки В всегда направлена по касательной к траектории движения b—b. На основании этого через полюс u плана скоростей проводим линию действия геометрической суммы, т. е. скорости V_B, параллельно касательной к дуге b—b в точке В₁ или, что то же самое, перпендикулярно к положению коромысла O₂B₁. Точка пересечения линий действия скоростей V_BA и V_B (на плане скоростей точка b) определяет по величине и направлению отрезки и , являющиеся масштабными значениями скоростей V_B и V_BA. Величины этих скоростей в метрах в секунду могут быть найдены умножением каждого из отрезков и , выраженных в миллиметрах, на масштаб плана скоростей, т. е.

V_B = (6)

V_BA = (7)

Отрезок , как геометрическая сумма, направлен от полюса u к точке b, a , как второе слагаемое правой части уравнения (5) — от точки а к точке b, навстречу геометрической сумме .

Переходим к определению скорости точки D. Точка D принадлежит шатуну 2, представляющему собой жесткий треугольник ADB, для которого скорости точек А и В являются известными. Принимая точку А за полюс и рассматривая движение треугольника ADB как составное из движений вместе с полюсом А и поворот его вокруг полюса А, по аналогии с уравнением (5) можем написать уравнение для скорости точки D

= + . (8)

Принимая затем за полюс точку В и рассматривая движение треугольника ADB как составное из движений вместе с полюсом В и поворот его вокруг полюса В, можем написать второе уравнение для скорости точки D

= + . (9)

В соответствии с уравнением (8) проводим через точку а на плане скоростей линию действия скорости V_DA ^ к A₁D₁, и согласно уравнению (9),—через точку b на плане скоростей линию действия скорости V_DB ^ к D₁B₁. Точка пересечения линий действия скоростей V_DA и V_DB (точка d на плане скоростей) определяет и , являющиеся масштабными значениями скоростей V_DA и V_DB. Соединив точку d с полюсом u, найдем — масштабное значение величины скорости V_D. Отрезок направлен от полюса к точке d, как геометрическая сумма и по уравнению (8) и и по уравнению (9).

Значения скоростей (в м/сек) могут быть найдены из равенств:

V_DA = (10)

V_DB = (11)

V_D = (12)

Завершаем построение плана скоростей механизма нахождением скорости точки Е. Точки D и Е принадлежат шатуну DE. Принимая точку D, скорость которой нам известна, за полюс и рассматривая движение шатуна DE как составленное из движения вместе с полюсом D и поворота его вокруг полюса, мы можем написать уравнение скорости точки Е

= + (13)

В соответствии с уравнением (13) проводим через точку d на плане скоростей линию действия скорости V_DE, ^ к D₁Е₁, а через полюсu — линию действия скорости V_E параллельно х—х на схеме механизма. Точка пересечения линий действия V_ED и V_E. (точка е на плане скоростей) определяет и , являющиеся масштабными значениями скоростей V_ED и V_E.

Этим заканчивается построение плана скоростей для первого положения механизма. Совершенно аналогично строятся планы скоростей для его других семи положений (см. приложение 1).

Имея план линейных скоростей точек механизма, не трудно найти значения угловых скоростей звеньев в данном положении механизма. Так, например, если потребуется определить угловую скорость шатуна 2, представленного в виде треугольника ABD, в его относительном повороте вокруг точки А, достаточно поделить значение вращательной скорости V_BA на величину радиуса вращения, т. е. на длину стороны АВ треугольника ABD. Тогда

w₂ = . (14)

Пользуясь масштабными значениями, можно равенство (14) переписать в таком виде

w₂ = . (14а)

Найденная скорость w₂ есть по смыслу относительная угловая скорость, но в данном случае она является и абсолютной угловой скоростью звена 2, так как по теореме о сложении угловых скоростей в составном движении

w_абс = w_пер+w_отн.

Здесь сумма не геометрическая, а алгебраическая, так как в плоском движении оси всех вращении параллельны между собой, будучи перпендикулярны к плоскости движения, а вместе с тем параллельны между собой и векторы угловых скоростей. В рассматриваемом случае w_пер = 0, так как переносное движение звена 2 есть движение поступательное; следовательно,

w_абс = w_отн+w₂.

Направление угловой скорости w₂ определяется направлением , перенесенного с плана скоростей в точку В на схеме механизма. В данном положении механизма шатун 2 поворачивается вокруг полюса А против часовой стрелки.

Совершенно аналогично найдем угловую скорость вращения коромысла ВО₂ вокруг точки О₂

w₃ = = . (15)

Направление w₃ определяется направлением , перенесенного с плана скоростей в точку В на схеме механизма. В данном положении механизма эта скорость будет направлена против часовой стрелки. Соответственно угловая скорость шатуна DE в его относительном повороте вокруг точки D

w₄ = = . (16)

и в данном положении механизма направлена против часовой стрелки, что определяется направлением вектора , перенесенного с плана скоростей в точку Е на схеме механизма.