Умножение и деление

1. Ошибки при нахождении результатов умножения сложением.

а) Ошибки при вычислении суммы одинаковых слагаемых: 3*9=28. Вычисляя сумму нескольких слагаемых, ученик допустил ошибку в сложении.

б) Ошибки в установлении числа слагаемых: 8*5=32. Ученик нашел сумму не пяти, а четырех слагаемых, каждое из которых 8.

в) Ошибки, обусловленные непониманием смысла компонентов умножения: 7*9=61. Ученик взял число 7 слагаемым 10 раз, получил 70, а затем вычел из 70 не 7, а 9.

Предупреждению названных ошибок служит усиление внимания к усвоению конкретного смысла действия умножения: выполнение до­статочного числа разнообразных упражнений на замену суммы одинаковых слагаемых произведением и произведения суммой одинако­вых слагаемых. Кроме того, весьма полезна специальная работа по обсуждению неправильно решенных примеров, аналогичных приведенным ( не надо ждать, когда ученики допустят такие ошибки!) здесь уместно указать на важность запоминания наизусть результатов табличного умножения.

2. Ошибки обусловленные трудностями запоминания результатов умножения. Трудными для запоминания являются следующие случаи:

а) произведения чисел, больших пяти: 6*7, 6*8, 6*9, 7*7 и т.д.

б) произведения с равными значениями: 2*9 и 3*6, 6*4 и 8*3 и т.п.

в) произведения, значения которых близки в натуральном ряду: 6*9=54,7*8=56 и д.

чтобы помочь запомнить результаты умножения в названных случаях, не смешивать их и не допускать ошибок, надо чаще включать эти случаи в устные упражнения и письмен­ные работы, создавая при этом занимательные ситуации. Полезно названное случаи умноже­ния по мере их изучения записывать на пла­катах и вывешивать в классе для зрительного восприятия.

Вследствие нетвердого запоминания отдель­ными учениками результатов умножения, они допускают ошибки и при делении (54:9=7, 24:8=4 и т. п.), поскольку при нахождении результата воспроизводят соответствующие случаи умножения. Случаи табличного деления следует чаще включать в устные упраж­нения, чем случаи табличного умножения.

3. Смешение действий умножения и деления (8*2=4, 6:3= 18). Эти ошибки, как прави­ло, результат невнимательности учеников.

Для их предупреждения используют те же методические приемы, которые описаны в от­ношении сложения и вычитания.

4.Смешение случаев умножения и деления с числами 1 и 0, например: 8*0=8, 5*1=0, 0:9=9 и т. п.

Предупреждению названных ошибок помогают специальные упражнения на сравнение смешиваемых случаев.

5. Смешение приемов внетабличного умножения и деления с приемом сложения. Например: 35*2= 65, 68:2=38. Здесь по аналогии с приемом сложения для случаев вида 35+2 ученик умножал на 3 три десятка и к результату прибавил 5 единиц; разделил на 2 шесть десятков и к результату прибавил 8 единиц.

Чтобы предупредить, а позднее устранить подобные ошибки, следует предлагать для ре­шения с подробной записью и объяснением пары примеров вида 16*4 и 16+4, попутно выявляя существенное различие в приемах: при умножении двузначного числа на одно­значное число только к единицам. Такое же сравнение ведется при решении пар примеров вида 36:3 и 36+3. Для устранения подобных ошибок полезно проводить обсуждение неверных решений, аналогичных приведенным, в результате которого ученики сами находят ошибку ( единицы не умножили или не разделили на число). Важно также, чтобы ученики выполняли проверку решения примеров на внетабличное умножение и деление: умножение проверяли делением произведения на один из компонентов, а деление – либо умножением частного на делитель, либо деление делимого на частное. Проверку следует выполнять преимущественно устно.

6. смешение приемов внетабличного деления, пример: 88:22=44, 36:12=33. Здесь

ученики вместо использования приема подбо­ра частного, как и при делении двузначного числа на однозначное, делят десятки, получая при этом десятки, затем делят единицы и ре­зультаты складывают.

Для предупреждения таких ошибок целесо­образно предложить для решения одновремен­но примеры вида 88:22 и 88:2, после чего сравнить как сами примеры, так и приемы их вычислений. В таких случаях также полезно проводить обсуждение неверно решенных при­меров, выявляя при этом ошибку.

7. Ошибки в табличных случаях умножения и деления, когда они входят в качестве опе­раций в случаях внетабличного умножения и деления. Например:

19*3=(10+9)*3 = 10*3 +9*3 =30+24 =54

72:4= (40+32) :4=40:4+32:4=10+6=16

Для устранения таких ошибок необходима индивидуальная работа с учениками, допус­кающими их.

8. Ошибки при делении с остатком, обу­словленные неверным выделением числа, кото­рое делят на делитель. Например: 65:7=8 (ост. 9). Здесь ученик делил на 7 не 63, а 56, поэтому получил неверное частное и остаток, который больше, чем делитель.

Для предупреждения таких ошибок следует включать упражнения на выявление ошибок в решении примеров вида 43:7=5 (ост. 8). Подобные ошибки должны обсуждаться со всеми учащимися класса. Важно также на­учить учеников выполнять проверку решения примеров на деление с остатком. Пусть они каждый раз сравнивают остаток с делителем, помня, что остаток не может быть больше делителя. Однако этот способ не всегда поз­воляет установить, верно, ли найдены частное и остаток, например: 42:5=7 (ост. 2). Поэто­му надо использовать и другой способ: умножить частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток, если полу­чится делимое, то пример решен правильно.

ТЫСЯЧА. МНОГОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА

Сложение и вычитание

1.Ошибки, вызванные неправильной записью примеров в столбик при письменном сложении и вычитании. Например:

546

+

43

_____

976

С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны за­метить, что в данном примере неверно подписаны числа, поэтому сложили десятки с единицами, сотни с десятками, я надо числа подписывать так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и т. д. и складывать единицы с единицами, десятка с десятками и т. д. Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выпол­нив проверку способом прикидка результата. Так, в отношении поведенного примера сложение рассуждение ученика будет таким: «К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка».

539 692

+225 -427

_____ ____

754 275

Предупреждению таких ошибок также помогает обсуждение с учениками неверно решенных примеров. После этого важно под­черкнуть, что всегда надо проверять себя — не забыли ли прибавить число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что занимали единицы какого-то разряда, Выявлению таких ошибок самими учениками помогает выполнение проверок сложения вычитанием и вычитания сложением.

Заметим, что в некоторых, методических по­собиях и статьях для предупреждения на­званных ошибок в письменном сложении с пе­реходом через десяток рекомендуется начинать сложение с единиц, которые запоминали. Например, при решении приведенного приме­ра ученик тогда должен рассуждать: «К де­вяти прибавить 5, получится 14, четыре пи­шем, а 1 запоминаем 1 да 3 — четыре, да 2 всего 6» и т. д. Этого делать не следует поэ­тому что некоторые ученики перенося этот прием па письменное умножение, что вызовет ошибку, например при умножении чисел 354 и 6 он, рассуждают так: « 4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, 2 запоминаем; 2 да 5 —7, 7 умножить на 8 получится 42» и т. д.

3. Ошибки в устных приемах сложения и вычитания чисел больших ста, те же что и при сложении и вычитании чисел в пределах ста. Для их устранения используются методические приемы, о которых говорилось выше.