Краткая теория

Характерным свойством твердых тел является упругость, т.е. свойство тела сохранять форму и объем после прекращения внешнего воздействия. Упругость обусловлена тем, что между составляющими тело атомами и молекулами действуют силы электромагнитного взаимодействия. Если деформация тела (например, растяжение пружины) прямо пропорционально деформирующей силе, то в этом случае сила упругости определяется по закону Гука:

F_упр = - kx (1)

где х - смещение относительно положения равновесия;

k - коэффициент жесткости пружины.

Если систему вывести из положения равновесия под действием силы, подчиняющейся закону Гука, а затем отпустить, то в системе могут возникнуть колебания.

Колебаниями называются процессы, при которых система, многократно отклоняясь от положения равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему.

Колебательные движения широко распространены в природе и технике. Все колебательные движения могут быть сведены к совокупности простейших колебаний, называемых гармоническими.

Гармоническими называются колебания, при которых смещение, скорость и ускорение с течением времени изменяются по гармоническому закону, т.е. по закону синуса или косинуса.

Гармонические незатухающие колебания возникают при следующих условиях:

• система имеет положение устойчивого равновесия;

• на систему действует возвращающая сила, пропорциональная смещению и направленная в сторону равновесия системы;

• трением в системе можно пренебречь.

В качестве примера гармонического незатухающего колебания рассмотрим колебание груза массой m на упругой пружине. Для описания движения груза запишем уравнение второго закона Ньютона:

ma = - kx

или mx'' = - kx.

Преобразуем это уравнение: mx''+kx=0, разделим на m и введем обозначение k/m = ² (2).

Уравнение будет иметь вид: x''+ ² x = 0 (3).

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение гармонических незатухающих колебаний. Решением этого уравнения является выражение:

x = Asin (t+_o) (4)

где А - амплитуда колебания, т.е. максимальное смещение груза относительно положения равновесия;

t+_o - фаза колебания, которая характеризует положение колеблющейся системы в данный момент времени t;

_o - начальная фаза (фаза в момент времени t=0).

 - круговая (циклическая) частота.

Согласно выражению (2) круговая частота зависит от параметров системы, в данном случае от коэффициента жесткости пружины и массы груза.

Частотой колебания  называют число колебаний за единицу времени.

Периодом колебания T называют время одного колебания, т.е. время за которое система, совершив одно полное колебание, вернется в первоначальное состояние.

Частота, круговая частота и период связаны между собой следующими соотношениями:

=2 = 2/Т (5).

Для гармонических незатухающих колебаний амплитуда, частота и период остаются постоянными в течение всего времени движения. Исходя из выражений (2) и (5):

; (6).

Таким образом, квадрат периода колебания прямо пропорционален массе колеблющегося груза. Это соотношение мы проверим во втором упражнении.

Из выражения (6) можно определить коэффициент жесткости пружины:

(7).

Формулой (7) мы воспользуемся во втором упражнении для определения коэффициента жесткости пружины.

Определим скорость и ускорение тела, совершающего гармонические незатухающие колебания. Мгновенная скорость численно равна первой производной от смещения по времени:

v = x = Acos(t+₀) (8)

Следовательно максимальное значение скорости:

v_max= A (9).

Ускорение колеблющейся точки определяется как первая производная от скорости по времени или вторая производная от смещения по времени:

а = v = x = - A²sin(t+₀) (10)

Максимальное значение ускорения: a_max= A² (11).

Можно сделать следующие выводы:

- при гармонических незатухающих колебаниях смещение тела от положения равновесия, скорость и ускорение изменяются со временем по гармоническому закону;

- амплитуда (максимальное значение) у смещения равна А, у скорости - А, у ускорения - ²А;

- ускорение и смещение находятся в противофазе (разность фаз равна 180⁰), поскольку при колебательном движении сила направлена против смещения тела;

- скорость сдвинута по отношению к смещению на 90⁰, т.е. скорость максимальна в тот момент, когда груз проходит положение равновесия (х=0) и, наоборот, при максимальном смещении, равном амплитуде, скорость тела равна нулю, т.к. скорость меняет знак на противоположный.

Соотношение между скоростью и смещением относительно положения равновесия можно объяснить на основании закона сохранения энергии. При гармоническом колебании происходит периодическое взаимное превращение кинетической энергии колеблющегося тела в потенциальную энергию упругой деформации пружины. Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания, определяется по формуле:

(12),

(13).

Полная энергия колеблющейся системы складывается из ее потенциальной и кинетической энергии:

Е=Е_пот + Е_кин (14)

Учитывая, что (см.формулу (2)), а сумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице, полная энергия системы, совершающей гармонические незатухающие колебания, определяется выражением:

(15).

Мы рассматриваем идеальную колебательную систему, в которой отсутствуют силы сопротивления. В этом случае полная механическая энергия системы остается постоянной величиной и определяется по формуле (15). В реальных колебательных системах при наличии сил трения и сопротивления колебания будут затухающими. С течением времени амплитуда затухающих колебаний будет уменьшаться. Для того, чтобы реальные колебания были незатухающими, необходимо пополнять убыль энергии за счет работы внешних периодических сил. Такие колебания называются вынужденными.