2. Понятия о моментах статистического распределения

Для подробного описания особенностей распределения используют дополнительные характеристики – моменты распределения, предложенные

русским математиком П.Л. Чебышевым и успешно примененные А.А. Марковым для рассмотрения возможностей использования закона нормального распределения при изучении сумм большого, но конечного числа независимых случайных величин.

Моментом распределения называется средняя арифметическая величина тех или иных степеней отклонений индивидуальных значений признака от определенной исходной величины.

Моментом k-го (М_k) порядка называют среднюю отклонений вариантов от некоторой постоянной величины А в степени k:

,

где – значения признака;

А – постоянная величина, от которой определяются отклонения;

k – степень отклонения (порядок момента).

При исчислении средней в качестве весов могут быть использованы частоты, частости или вероятности. При использовании в качестве весов частот или частостей моменты называются эмпирическими, а при использовании вероятностей – теоретическими.

В зависимости от выбора постоянной величины А различают три вида моментов:

1. начальный момент (М_k ) при А=0:

;

2. центральный момент (μ_k) получаются, если за постоянную величину А взять среднюю арифметическую ( )

;

3. условный и начальный относительно х₀ момент (m_k), когда А, равная не 0 или , а некоторой производной величине равном х₀ (начало отсчета)

.

Если принять за стандарт, то отклонение k-го порядка к стандарту в k-й степени будет называться нормированным моментом:

В статистической практике пользуются в основном моментами 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядка, которые представлены в таблице.

Таблица – Основные виды моментов распределения

Порядок (k)	Виды моментов
	Начальные А=0	Центральные А=	Условные А=
0-й
1-й
2-й
3-й
4-й

3. Асимметрия и эксцесс распределения

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а так же вычисления показателей асимметрии и эксцесса.

Асимметрия представляет собой отклонение эмпирического ряда распределения от симметричной формы и рассчитывается несколькими способами:

• асимметрия первого порядка – разность между средней арифметической величиной и модой, которая является асимметрией первого порядка (показатель асимметрии Пирсона):

• асимметрия второго порядка рассчитывается по формулам:

;

• асимметрия третьего порядка представляет собой нормированный центральный момент третьего порядка: отношение центрального момента 3-го порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

Тогда .

Коэффициент асимметрии характеризует асимметричность распределения признака в совокупности:

если , то распределение симметричное,

если , то асимметрия правосторонняя,

если , то асимметрия левосторонняя.

Величина может изменяться от -1 до +1 (для одновершинных распределений).

Применение данного показателя дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить ее наличие в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной. Если асимметрия меньше 0,25, она считается незначительной.

Для симметричных распределений среднее арифметическое значение, мода и медиана равны между собой. Для левосторонней асимметрии Mo < Me < . Для правосторонней асимметрии Mo > Me > .

С помощью момента 4-го порядка характеризуется свойство рядов распределения, называемое эксцессом. Он рассчитывается для умеренно асимметричных распределений. Эксцесс представляет собой отклонение вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. Показатель эксцесса рассчитывается по формуле:

Наличие положительного эксцесса свидетельствует о крутизне (однородности) распределения и означает, что распределение более островершинное, а при отрицательном эксцессе – распределение имеет более плосковершинный характер, чем нормальное, что свидетельствует о пологости, разнородности данных. Для нормального распределения отношение , следовательно, эксцесс равен нулю.

По значениям показателей симметрии и эксцесса распределения можно судить о близости распределения к нормальному, что бывает существенно важно для оценки результатов корреляционно-регрессионного анализа, возможностей вероятностной оценки прогнозов.

Для оценки существенности асимметрии и эксцесса вычисляют показатели среднеквадратической ошибки:

• среднеквадратическая ошибка показателя асимметрии:

,

где .

• среднеквадратическая ошибка показателя эксцесса:

Если и , распределение признака в генеральной совокупности является нормальным (принимается гипотеза о сходстве фактического распределения с нормальным), если больше, то это свидетельствует о существенном характера асимметрии и эксцесса.

Рассмотрим пример расчета асимметрии и эксцесса распределения по данным таблицы 2.

Таблица 2 – Расчет показателей асимметрии и эксцесса распределения урожайности картофеля по предприятиям Орловской области

Интервалы по урожай-ности, ц/га	Число пред-приятий	Среднее значение урожай-ности, ц/га	Расчетные величины
80-110	7
110-140	22
140-170	55
170-200	36
200-230	17
230-260	6
260-290	3
Итого	146