9.4. Динамический хаос
Где лежит граница между регулярной, но сложно организованной структурой и хаосом? Критерием может служить устойчивость функционирования системы по отношению к малым возмущениям. Если такая устойчивость отсутствует, детерминированное описание теряет смысл, и необходимо использовать статистические методы.
Как же возникает хаотическое движение? Казалось бы, путей его возникновения должно быть очень много. Однако выяснилось, что число сценариев процесса хаотизации совсем невелико. Более того, некоторые из них подчиняются универсальным закономерностям, и не зависят (!) от природы системы. Одни и те же пути развития хаоса присуши самым разнообразным физическим, химическим, биологическим и др. объектам.
В течение долгого времени представление о хаотических колебаниях ассоциировалось с допущением, что в системе необходимо возбуждение чрезвычайно большого числа степеней свободы. Эта концепция, по–видимому, сформировалась под действием понятий, сложившихся в статистической механике: в газе движение каждой отдельной частицы в принципе предсказуемо, но поведение системы из очень большого числа частиц чрезвычайно сложно, и поэтому детализированное динамическое описание теряет всякий смысл. Отсюда — потребность в статистическом описании. Однако, как показали многочисленные исследования, статистические законы, а вместе с ними и статистическое описание не ограничены только очень сложными системами с большим числом степеней свободы. Дело здесь не в сложности исследуемой системы и не внешних шумах, а в появлении при некоторых значениях параметров экспоненциальной неустойчивости движения.
Какие же законы управляют хаосом? Возможно ли создать математический аппарат, позволяющий непротиворечиво описывать хаотическую динамику и предсказывать появление хаоса в системах? Можно ли найти методы предсказания поведения хаотических систем? Ответами на эти и ряд других вопросов занимается так называемая «теория динамического (или детерминированного) хаоса», являющаяся одним из разделов нелинейной динамики.
Как оказалось, необходимым условием возникновения хаоса в динамических системах является размерность фазового пространства N > 3, то есть когда состояние системы характеризуется минимум тремя переменными.
Также необходимо наличие неустойчивости и нелинейного ограничения. Пусть мы имеем дело с неустойчивым режимом. Нарушив режим малым воздействием, мы сначала будем фиксировать нарастание возмущения. Будет ли оно бесконечным? В реальной жизни никогда! Отклонение будет нарастать до тех пор, пока не вступит в действие механизм нелинейного ограничения процесса нарастания возмущения. В силу ограниченности энергетических ресурсов системы это нарастание должно прекратиться или смениться уменьшением амплитуды отклонения. Любой новый режим должен иметь конечную амплитуду, и управляют этими процессами нелинейные законы.
К настоящему времени разработаны методы классификации различных типов хаоса, найдены закономерности его развития, созданы методы, позволяющие отличить в эксперименте, хаос от белого шума, и т.п.
Физически осмысленное понятие детерминированного описания заключается в том, что начальное состояние процесса задается в силу неизбежных флюктуаций некоторым вероятностным распределением. Задача состоит в том, чтобы на основании известного начального распределения предсказать его эволюцию. Если малые возмущения начального условия с течением времени не нарастают, то поведение такой системы является предсказуемым. В противном случае процесс может быть описан только вероятностным образом. Эти соображения легли в основу современного представления о динамическом хаосе.
Как известно, математическим образом установившихся периодических колебаний является предельный цикл, а квазипериодических — инвариантный тор. И устойчивые циклы, и инвариантные торы являются аттракторами («притягателями»), поскольку в прямом смысле они притягивает все близкие траектории фазового пространства динамической системы. Физически это означает, что при отклонении от таких колебаний (вследствие каких–либо воздействий) система спустя некоторое время вновь возвращается к ним.
Пространство состояний двумерной дифференциальной динамической системы — фазовая плоскость с координатами x и y. Если малое возмущение состояния равновесия в такой системе будет нарастать, а в результате нелинейного ограничения далее уменьшаться, то возможны два варианта: появление новых устойчивых состояний равновесия вблизи неустойчивого либо переход в новый режим, отвечающий периодическим колебаниям.
Второй вариант иллюстрирует рис. 9.2. При малых амплитудах возмущения (рис. 9.2, а) траектория по спирали удаляется от точки равновесия О. При больших отклонениях (рис. 9.2, б) траектория возвращается. Вместо неустойчивого состояния равновесия появляется новый режим — периодические автоколебания, им отвечает предельный цикл Г на фазовой плоскости.
Рис. 9.2. Рождение устойчивого предельного цикла Г в окрестности неустойчивого равновесия О. Поведение траекторий при малых (а) и при больших (б) отклонениях от равновесия
Рис. 9.3. Поведение динамической системы, которое невозможно реализовать на плоскости в силу пересечения фазовых траекторий. Эта картина получается путем проекции трехмерной траектории на плоскость.
Неустойчивость состояния равновесия в двумерной нелинейной системе порождает режим устойчивых периодических колебаний. Если мы вообразим себе иную ситуацию, когда отклонение от состояния равновесия вначале нарастает, а затем в силу нелинейности вновь стремится к нулю, мы придем к противоречию: фазовая траектория обязана будет самопересекаться (рис. 9.3.). Но из этого следует, что существуют различные начальные условия, приводящие в итоге к одинаковым состояниям! Это невозможно в силу теоремы единственности: при заданных начальных условиях существует единственное решение.
Рис. 9.4. Возможный вид фазовой траектории в трехмерной нелинейной диссипативной системе, отвечающий наличию странного аттрактора
Картина принципиально изменится, если мы рассмотрим динамическую систему, состояние которой характеризуется тремя независимыми переменными. Траектория раскручивается в трехмерном пространстве, удаляясь от точки О по спирали. Достигнув некоторых значений и испытывая действие механизма нелинейного ограничения, траектория вновь вернется в окрестность исходного состояния. Далее ввиду неустойчивости процесс будет повторяться (рис. 9.4.).
Возможны два варианта: траектория спустя конечное время замкнется, демонстрируя наличие сложного, но периодического процесса; траектория будет воспроизводить некий апериодический процесс, т. е. при удалении в бесконечность замыкания не произойдет. Второй случай и отвечает режиму детерминированного хаоса. Действительно, работает основной принцип детерминизма: будущее однозначно определено начальным состоянием. Однако процесс эволюции системы сложный, непериодический. Чисто внешне он ничем не отличается от случайного! Но при более детальном анализе вскрывается одно важное отличие этого процесса от случайного — этот процесс воспроизводим! Действительно, повторив еще раз начальное состояние, в силу детерминированности мы вновь воспроизведем ту же самую траекторию независимо от степени ее сложности.
Если диссипативная система проявляет хаотические свойства, то математически это соответствует наличию в ее фазовом пространстве странного (хаотического – рис. 9.4) аттрактора. Данное понятие впервые было введено в работе Д. Рюэля и Ф. Такенса «О природе турбулентности» в 1971 г. Появление такого аттрактора в системах дифференциальных уравнений тогда казалось экзотикой, отсюда и название — странные аттракторы.
В последнее время стало интенсивно развиваться направление в нелинейной динамике и синергетике, посвященное проблемам предсказуемости поведения хаотических систем, управления их динамикой и возможности подавления хаоса. Исследования показали, что оно имеет непосредственное отношение ко многим областям естественных наук, к таким важным как обработка информации, проблема самоорганизации, стабилизация неупорядоченных режимов в медицине, инженерия динамических систем, и другим.
Исследования хаотических динамических систем выявили их неожиданное и вместе с тем замечательное свойство: они являются весьма податливыми и чрезвычайно чувствительными к внешним воздействиям. По–видимому, именно это обстоятельство лежит в основе процессов структурообразования в живых тканях. Развитие любого живого организма есть последовательность актов самоорганизации, представимую в виде бифуркационного процесса (рис 9.5, а). Благодаря этому развивающаяся структура имеет возможность перейти в одно из очень большого числа допустимых равноправных состояний. Тем не менее, эволюционирующая система всегда проявляет только определенную динамику. Управление этим процессом может осуществляться с помощью слабых воздействий, которые и влияют на выбор того или иного конкретного состояния. Таким образом, была обнаружена возможность управлять динамикой хаотических систем, т. е. посредством слабых воздействий переводить хаотические системы из режима хаотических колебаний на требуемый динамический режим.
Рис. 9.5. а) диаграмма бифуркаций удвоения периода, заканчивающихся переходом к хаосу; б) диаграмма бифуркаций динамической системы, слабое воздействие на которую вынудило ее эволюционировать в заданном направлении. Воздействие исключило первую и некоторые другие нижние ветви, связанные с нежелательными аттракторами в фазовом пространстве.
Управление хаотическим поведением может быть осуществлено двумя различными способами. Первый из них обеспечивает выведение системы из хаотического на регулярный режим посредством внешних возмущений.
Второй метод реализуется посредством корректирующего воздействия в соответствии с требуемым значением динамической переменной, не допускающим нежелательной динамики системы (рис. 9.5, б).
К синергетике и теории неравновесных систем относится и другая область нелинейной физики — фракталы. Фракталами обычно называют множества, которые обладают масштабной инвариантностью, т. е. в любом масштабе они выглядят практически одинаково. Самый известный пример фрактала — множество Кантора на прямой. Термин «фрактал» был введен известным математиком Бенуа Мандельбротом и означал множество, размерность которого не совпадала с обычной.
Теория фракталов долгое время не находила широкого применения, пока не было обнаружено большое число задач, где фрактальная структура и размерность служат основными характеристиками системы. При фрактальном подходе хаос перестает быть синимом беспорядка и обретает тонкую структуру.
В теории динамических систем фрактальные множества занимают особое место, поскольку решения большинства нелинейных задач представляют собой фрактал. Дело в том, что математическим образом хаотических колебаний в диссипативных системах является аттрактор, который уже не обладает такой же гладкой структурой, как, например, тор. Геометрическое строение странных аттракторов более сложное. В частности, они могут обладать геометрической (масштабной) инвариантностью, т. е., подобно фрактальному множеству, их структура повторяется при последовательном увеличении масштаба. Это свойство странных аттракторов иногда позволяет описывать их аналогично тому, как описываются фракталы.
Основной геометрической характеристикой фракталов является их размерность, которая указывает на близость таких множеств к регулярным объектам и позволяет определить число независимых переменных, однозначно их описывающих. Естественным обстоятельством является то, что фрактальные структуры повсеместно встречаются в природе и рождаются в физических экспериментах.