6. Проверка статистических гипотез, критерий Хи-квадрат

Анализ характера распределения данных (его еще называют проверкой на нормальность распределения) осуществляется по каждому параметру. Если установлено, что признак не является нормально распределенным, применение критерия достоверности Стьюдента не оправдано. Это, прежде всего, относится к дискретным и биномиальным данным, которые выражаются в баллах или строго определенными числовыми значениями.

Непараметрические критерии используются в тех случаях, когда изучаемое явление отличается от нормального распределения. Они позволяют оценить характер, тенденцию явления (увеличение, уменьшение, без перемен), а, с другой стороны, большинство из них обладает достаточно высокой статистической мощностью (чувствительностью). Особенно эффективно применение непараметрических критериев при малых выборках (n<30), а также при изучении качественных признаков.

Наиболее часто в медицинских исследованиях применяется критерий достоверности Хи-квадрат (χ2).

Формула вычисления критерия Хи-квадрат:

χ2=(Э - Т)² / Т ,

где: Э - эмпирическая частота появления признака, т.е. полученная в опыте;

T - теоретическая частота, рассчитанная по нулевой гипотезе (что было бы, если бы группы были одинаковы).

Под частотой понимается количество появлений какого-либо события. Обычно с частотой появления события имеют дело, когда переменные измерены в шкале наименований и другой их характеристики, кроме частоты, подобрать невозможно или сложно. Такие признаки применяются многими исследователями, которые используют балльную оценку величины явления, например: высокий, средний, низкий уровни и т.д.

Пример определения достоверности различий ЧСС в группах детей, поступающих в отделения больницы, по критерию Хи-квадрат.

Условие задачи: требуется сравнить частоту сердечных сокращений (ЧСС) детей 1-го года жизни, поступающих в отделения №1 и №2 больницы N (см. раздел III).

Задание: определить достоверность различий частоты пульса детей, поступающих в 1-е и 2-е отделения больницы, по критерию Хи-квадрат и сделать вывод.

Решение: запустите программу Excel, откройте файл в папке своей учебной группы под именем «Статистика–Фамилии студентов». Создайте НОВЫЙ лист, переименуйте его, обозначив названием «Крит_Хи-квадрат». На этом листе создайте сгруппированные вариационные ряды, как показано в таблице 22 или перенесите таблицы сгруппированных вариационных рядов, скопировав их с листа «Крит_Стьюдента» (см. раздел III). Выполните вычисления, как показано ниже, сохраните изменения и покажите результат работы преподавателю.

Таблица 22

Результаты измерения частоты пульса детей в 2-х отделениях больницы

1-й вариационный ряд: Частота пульса детей, поступивших в отделение №1 больницы в 20… году				2-й вариационный ряд: Частота пульса детей, поступивших в отделение №2 больницы в 20… году
	V	p			V	p
1	110	1		1	110	0
2	115	3		2	115	3
3	120	5		3	120	2
4	125	4		4	125	6
5	130	2		5	130	3
6	135	1		6	135	1
7	140	0		7	140	1
8	145	0		8	145	1

Выполнение расчета (таблица 23):

1. Создаем таблицу частот и вычисляем опытные (эмпирические) и теоретические частоты.

Эмпирические частоты - это количество единиц наблюдения по баллам, вычисляем из вариационных рядов ручным подсчетом или функцией =СЧЁТЕСЛИ(Диапазон ячеек;Значение).

Теоретические частоты вычисляем из таблицы эмпирических частот как среднее значение в каждом отделении, например: 0,48=1*16/33, 0,52=1*17/33 и т.д. Итоги теоретических частот должны совпасть с итогами частот в эксперименте.

Таблица 23

Вычисление теоретических частот и критерия Хи-квадрат

ЧСС		Эмпирические частоты баллов (Э)			Теоретические частоты (Вcего*Итого/n) (Т)			Расчет χ2 = (Э - Т)² / Т
		1-е отд-е	2-е отд-е	Всего	1-е отд-е	2-е отд-е	Всего	1-е отд-е	2-е отд-е	Всего
1	110	1	0	1	0,48	0,52	1	0,55	0,52	1,06
2	115	3	3	6	2,91	3,09	6	0,00	0,00	0,01
3	120	5	2	7	3,39	3,61	7	0,76	0,72	1,48
4	125	4	6	10	4,85	5,15	10	0,15	0,14	0,29
5	130	2	3	5	2,42	2,58	5	0,07	0,07	0,14
6	135	1	1	2	0,97	1,03	2	0,00	0,00	0,00
7	140	0	1	1	0,48	0,52	1	0,48	0,46	0,94
8	145	0	1	1	0,48	0,52	1	0,48	0,46	0,94
	Итого:	16	17	n=33	16	17	33	2,50	2,36	4,86

2. Вычисляем опытное (эмпирическое) значение критерия Хи-квадрат.
В ячейках каждого отделения и балла используется формула: (Э - Т)² / Т, а затем суммируется строка «Итого» или столбец «Всего». Общая формула вычислений имеет вид:
			= 4,86

3. Вычисляем критическое значение критерия Хи-квадрат или вероятность различий.

Уровень значимости =

0,05

Степени свободы (df) =

(R - 1) * (C - 1),  где R – количество групп в таблице, C – количество столбцов опытных данных.

Число столбцов =

2

Число строк =

8

df = (2 - 1) * (8- 1)=

7

Критическое значение определяется по таблице или вычисляется функцией =ХИ2ОБР(0,05;7)

Критическое значение Хи-квадрат =

14,06714

при p = 0,05

или:

Расчетная значимость вычисляется функцией =ХИ2ТЕСТ(Опытный интервал; Теоретический интервал). Такой расчет позволяет сократить вычисления, используя диапазоны данных из таблицы частот, и возвращает в ячейку непосредственно опытный уровень значимости.

Расчетная значимость по ХИ2ТЕСТ =

0,677

> 0,05

4. Сравниваем опытное значение с критическим значением критерия Хи-квадрат или критическим уровнем значимости, формулируем вывод.
4,86	<	14,07	опытное значение (4,86) МЕНЬШЕ критического значения (14,07)
или:
0,677	>	0,05	опытный уровень значимости (0,677) больше критического (0,05)
Вывод: различия частоты пульса в 2-х отделениях НЕдостоверны при уровне значимости p<0,05.

Вывод, сделанный на основе вычисления критерия Хи‑квадрат, в основном согласуется с выводом, сделанным по критерию Стьюдента. Однако вероятности того, что выборки взяты из одной генеральной совокупности, существенно отличаются. При использовании критерия Стьюдента эта вероятность составила 12% (0,12), а по критерию Хи-квадрат 67,7% (0,667). Значит, довод о равенстве совокупностей, полученный с применением критерия Хи-квадрат, более весомый.