Задачи для самостоятельного решения.
. Выполнить действия.
Найти матрицу
,
если
а.
и
.
б.
и
.
Найти
,
где
,
а
.
Проверить, что
,
если
и
.Даны матрицы
и
.
Найти
а.
.
б.
.
. Найти произведения матриц.
.
.
.
.
.
.
. Проверить перестановочность матриц.
и
.
и
.
V. Решить матричные уравнения.
,
если
и
.
,
если
и
-
единичная матрица 3-го порядка.
,
если
и
.
1.2. Определители квадратных матриц. Справочный материал.
Определителем матрицы второго порядка называется число:
(1)
Определителем матрицы третьего порядка называется число:
(2)
Определителем квадратной матрицы -го порядка называется число, которое ставится в соответствие данной матрице по определенному правилу, которое будет приведено ниже.
Определитель –го порядка обозначается:
Минором
элемента
определителя
–го
порядка называется определитель
- го порядка, полученный из данного
вычеркиванием
–ой
строки и
–ого
столбца.Алгебраическим дополнением
элемента
называется число, которое находится
по формуле:
Замечание:
Здесь и далее, говоря об элементах, строках или столбцах определителя, мы будем иметь ввиду элементы, строки или столбцы соответствующей матрицы.
Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
(3)
Равенство (3) называется разложением определителя по элементам – ой строки или по j- му столбцу.
Определитель треугольной и, в частности, диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
Некоторые свойства определителей:
Определитель не изменится при транспонировании матрицы.
Определитель не изменится, если к элементам какой либо строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на число, отличное от нуля.
Определитель равен нулю, если:
Все элементы какой либо строки равны нулю.
Элементы любых двух строк пропорциональны либо, в частном случае, равны.
Перечисленные свойства справедливы и для столбцов.
Примеры:
Вычислить определители:
;
.
Решение:
Согласно формуле (1)
Выражение (2) можно получить следующим образом. Припишем справа к таблице элементов определителя первые два столбца. Со знаком «+» в сумму (2) входят произведения элементов, стоящих на главной диагонали и на прямых, параллельных этой диагонали. Слагаемые со знаком «-» получаются аналогично по отношению к побочной диагонали.
Найти минор и алгебраическое дополнение элемента
определителя
.
Вычислить
определитель
,
разложив его по элементам первой строки
Задачи для самостоятельного решения.
Вычислить определитель второго порядка:
,
,
.
Вычислить определитель третьего порядка:
,
.
Определить, при каких значениях
определители
не равны нулю.
,
.
Решить уравнения:
,
