2.3. Графическое изображение систем
Графическое изображение систем представляет собой некую схему, называемую графом. Граф состоит из вершин, обозначаемых обычно кружочками, и рёбер или, по-другому, дуг, изображаемых линиями или стрелками, соединяющими эти вершины. Вершины графа соответствуют элементам системы, а дуги – связям между ними. Если указано направление связей в графе, то он считается ориентированным, если нет – то неориентированным.
Каждая пара вершин в графе может быть соединена любым количеством рёбер. Кроме того, вершины графа могут быть соединены и сами с собой, тогда соответствующее ребро называют петлёй. Если в графе требуется отразить различие между элементами и связями, то вершины и рёбра графа либо раскрашивают в различные цвета (раскрашенный граф), либо приписывают им различные веса (взвешенный граф). Разработана специальная теория, предусматривающая определенные операции над графами. Данная теория графов позволяет на формальном, отвлечённом уровне однотипно оперировать с системами различной природы.
С помощью графов удобно изображать и изучать структуры различных систем. Например, общую или организационную структуру предприятия, структуру решаемой проблемы или задачи, структуру производственного процесса или процесса принятия решения и т.п. Приведённые ниже графы отражают основные типы структур:
Ориентированные
графы
и
ли
Линейная структура
Древовидная,
иерархическая структура
Неориентированные
графы
Сетевая структура
Матричная структура
2.4. Представление систем с помощью матриц
Матрица – это совокупность пронумерованных элементов, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Если матрица двухмерная то её элементы обозначают буквой, снабженной двумя цифровыми индексами. Например, aij . Первый индекс ( i ) означает номер строки, в которой расположен элемент, а второй ( j ) – номер столбца. В общем случае произвольная матрица А выглядит следующим образом:
А
=
Число строк и столбцов в матрице определяют её размер. Если число строк в матрице равно n, а число столбцов – m, то её размер составляет n m. Матрицу размером n n, в которой число строк равно числу столбцов, называют квадратной. При этом число n считают порядком данной матрицы. Матрицу размером n 1 называют матрицей-столбцом, а матрицу размером 1 n – матрицей-строкой или вектором. Элементами матриц могут быть числа или иные объекты. Например, численные значения основных показателей финансово-хозяйственной деятельности предприятия по годам или по месяцам. Примером матричного представления систем могут служить различные таблицы, в которых приведены численные значения каких либо показателей для различных вариантов или ситуаций.
Над матрицами определяют такие операции как сложение, умножение, транспонирование, а также сложение или вычитание элементов отдельных строк и столбцов и др. Это позволяет однотипно, на формальном уровне оперировать с различными системами.
Между структурно–графическим и матричным способами представления систем существует определённая взаимосвязь. Для описания отношений между вершинами неориентированных графов вводят так называемую матрицу смежности. Если граф является ориентированным, то для его описания используют матрицу инцидентности. В матрице смежности количество строк и столбцов равно количеству вершин в графе, то есть такая матрица всегда является квадратной. На пересечении i-ой строки и j-го столбца матрицы смежности ставится 1, если существует дуга, соединяющая i-ю вершину графа с j-ой вершиной и 0, если такой дуги нет. В частности aii = 0, если нет петли, соединяющей i-ю вершину графа саму с собой.
В матрице инцидентности количество строк равно количеству дуг, а количество столбцов – количеству вершин в графе. Если некая вершина не принадлежит рассматриваемой дуге, то в соответствующей строке и столбце матрицы инцидентности ставится 0. Если дуга начинается в этой вершине, то ставится 1, если заканчивается то –1.
Примеры графов и соответствующие им матрицы смежности и инцидентности приведены ниже:
Матрица
смежности МС =
Матрица
инцидентности МИ =
