2.3. Погрешности измерений

При практическом использовании тех или иных измерений важ­но оценить их точность. Термин "точность измерений", т. е. сте­пень приближения результатов измерения к некоторому действи­тельному значению, не имеет строгого определения и использу­ется для качественного сравнения измерительных операций. Для количественной оценки используется понятие "погрешность из­мерений" (чем меньше погрешность, тем выше точность). Оценка погрешности измерений — одно из важных мероприятий по обес­печению единства измерений.

Количество факторов, влияющих на точность измерения, доста­точно велико, и любая классификация погрешностей измерения (рис. 2.5) в известной мере условна, так как различные погрешности в зависимости от условий измерительного процесса проявляются в различных группах. Поэтому для практических целей достаточно рас­смотреть случайные и систематические составляющие общей погреш­ности, выраженные в абсолютных и относительных единицах при прямых, косвенных, совокупных и равноточных измерениях.

Погрешность измерения Δх_изм — это отклонение результата из­мерения х от истинного (действительного) x_И (х_д) значения изме­ряемой величины:

Δx_ИЗМ=x-x_Д.

В зависимости от формы выражения различают абсолютную, относительную и приведенную погрешности измерения.

Абсолютная погрешность определяется как разность Δ=х-х_И или Δ= х-х_Д, а относительная — как отношение

или

Приведенная погрешность , где х_N — нормированное значение величины. Например, x_N =x_max, где х_max — макси­мальное значение измеряемой величины.

В качестве истинного значения при многократных измерениях параметра выступает среднее арифметическое значение x

(2.1)

Величина x, полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к x_и. Для оценки ее возможных откло­нений от х_и определяют опытное среднее квадратическое откло­нение (СКО)

(2.2)

Для оценки рассеяния отдельных результатов x_i измерения относительно среднего x определяют СКО:

при n>20

или

при n<20. (2.3)

Примечание. Применение формул (2.3) правомерно при усло­вии постоянства измеряемой величины в процессе измерения. Если при измерении величина изменяется, как при измерении темпе­ратуры остывающего металла или измерении потенциала провод­ника через равные отрезки длины, то в формулах (2.3) в качестве х следует брать какую-то постоянную величину, например нача­ло отсчета.

Формулы (2.2) и (2.3) соответствуют центральной предель­ной теореме теории вероятностей, согласно которой

. (2.4)

Среднее арифметическое из ряда измерений всегда имеет мень­шую погрешность, чем погрешность каждого определенного из­мерения. Это отражает и формула (2.4), определяющая фундамен­тальный закон теории погрешностей. Из него следует, что если необходимо повысить точность результата (при исключенной си­стематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нуж­но увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз и т. д.

Нужно четко разграничивать применение и : величи­на используется при оценке погрешностей окончательного ре­зультата, а — при оценке погрешности метода измерения.

В зависимости от характера проявления, причин возникнове­ния и возможностей устранения различают систематическую и случайную составляющие погрешности измерений, а также гру­бые погрешности (промахи).

Систематическая Д_с составляющая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра.

Случайная А составляющая изменяется при повторных изме­рениях одного и того же параметра случайным образом.

Грубые погрешности (промахи) возникают из-за ошибочных дей­ствий оператора, неисправности СИ или резких изменений усло­вий измерений. Как правило, грубые погрешности выявляются в результате обработки результатов измерений с помощью специ­альных критериев.

Случайная и систематическая составляющие погрешности изме­рения проявляются одновременно, так что общая погрешность при их независимости Δ = Δ _с + Δ° или через СКО .

Значение случайной погрешности заранее неизвестно, оно воз­никает из-за множества неуточненных факторов.

Случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов из­мерений. Для этого должны быть известны вероятностные и ста­тистические характеристики (закон распределения, закон мате­матического ожидания, СКО, доверительная вероятность и дове­рительный интервал). Часто для предварительной оценки закона распределения параметра используют относительную величину СКО — коэффициент вариации:

или . (2.5)

Например, при V_x < 0,33,...,0,35 можно считать, что распреде­ление случайной величины подчиняется нормальному закону. Если Р означает вероятность α того, что результата измерения отличается от истинного на величину не более чем Δ°, т.е.

P=α{x-Δ<x_u<x+Δ}, (2.6)

то в этом случае Р — доверительная вероятность, а интервал от x- Δ. до x+ Δ — доверительный интервал. Таким образом, для характеристики случайной погрешности надо обязательно задать два числа — величину самой погрешности (или доверительный интервал) и доверительную вероятность.

Если распределение случайной погрешности подчиняется нор­мальному закону (а это как правило), то вместо значения Δ ука­зывается σ_х. Одновременно это уже определяет и доверительную вероятность Р. Например: при σ_х= Δ значение Р = 0,68; при σ_х= 2Δ значение Р = 0,95; при σ_х= 3Δ значение Р = 0,99.

Доверительная вероятность по формуле (2.6) характеризует вероятность того, что отдельное измерение х не будет отклонять­ся от истинного значения более чем на Δ°. Безусловно, важнее знать отклонение от истинного значения среднего арифметичес­кого ряда измерений.

Поэтому при ограниченном числе измерений п вводят коэф­фициент Стьюдента t_р, определяемый по специальным таблицам в зависимости от числа измерений и принятой доверительной ве­роятности Р.

Тогда средний результат измерений находится с заданной вероят­ностью Р в интервале и отличается от действитель­ного значения на относительную величину .

Для уменьшения случайной погрешности есть два пути: повы­шение точности измерений (уменьшение σ_х) и увеличение числа измерений п с целью использования соотношения (2.4). Считая, что все возможности совершенствования техники измерений использо­ваны, рассмотрим второй путь. При этом отметим, что уменьшать случайную составляющую погрешности целесообразно лишь до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью опре­деляться систематической составляющей Δ. Если систематическая погрешность определяется классом точности СИ Δ_си (или γ_си), то необходимо, чтобы доверительный интервал был суще­ственно меньше Δ_с.

В случае невозможности выполнить эти соотношения необходимо ко­ренным образом изменить методику измерения. Для сравнения слу­чайных погрешностей с различными законами распределения исполь­зование показателей, сводящих плотность распределения к одному или нескольким числам, обязательно. В качестве таких чисел и высту­пают СКО, доверительный интервал и доверительная вероятность.

Надежность самого СКО характеризуется величиной

.

Принято, что если σ_σ<0,25σ, то оценка точности надежна. Это условие выполняется уже при п = 8.

Для практических целей важно уметь правильно сформулиро­вать требования к точности измерений. Например, если за допус­тимую погрешность изготовления принять Δ = 3σ, то, повышая требования к контролю (например, до Δ = 3σ), при сохранении технологии изготовления увеличивается вероятность брака.

Наиболее вероятная погрешность Δ_в отдельного измерения оп­ределяется по формуле

Анализ этой формулы показывает, что с увеличением п вели­чина А_в быстро уменьшается лишь до п = 5 ...10. Следовательно, увеличение числа измерений на одном режиме свыше 5... 10 неце­лесообразно, что совпадает с условием получения надежных зна­чений σ_о.

Число измерений можно выбрать из данных табл. 2.1 или по одной из формул:

где n_от — число отбрасываемых экспериментальных результатов. С учетом коэффициентов Стьюдента можно оценить относительную погрешность отдельного измерения как δ_i=t_pσ_x/ среднего зна­чения .

Как правило, считают, что систематические погрешности мо­гут быть обнаружены и исключены. Однако в реальных условиях полностью исключить систематическую составляющую погреш­ности невозможно. Всегда остаются какие-то неисключенные ос­татки, которые и нужно учитывать, чтобы оценить их границы.

Это и будет систематическая погрешность измерения. То есть, в принципе, систематическая погрешность тоже случайна, и ука­занное деление обусловлено лишь установившимися традициями обработки и представления результатов измерения.

Оставшаяся необнаруженной систематическая составляющая опаснее случайной: если случайная составляющая вызывает ва­риацию (разброс) результатов, то систематическая - устойчиво их искажает (смещает). В любом случае отсутствие или незначи­тельность (с целью пренебрежения) систематической погрешно­сти нужно доказать.

Действительно, если взять два ряда измерений одной и той же величины, то средние результаты этих рядов, как правило, будут различны. Это расхождение может быть определено случайной или систематической составляющей. Методика выявления характера погрешности заключается в следующем:

1. Из двух рядов n₁ и n₂ независимых измерений находят сред­ние арифметические и ;

2. Определяют значения

3. Вычисляют

4. Вероятность того, что разность является случайной величиной, определяется равенством , где ; n=n₁ +n₂ -2

Величина Р определяется по таблице Стьюдента.

Если полученная вероятность Р > 0,95, то разность но­сит систематический характер.

Пример 2.2. Расчетные значения составили t_p= 3 и n=15. По таблице Стьюдента находим, что при n-1 = 14 и t_p = 2,98=3 вели­чина Р= 0,99. Тогда Р= 0,99 > 0,95, что свидетельствует о система­тическом характере погрешности.

В отличие от случайной погрешности, выявленной в целом вне зависимости от ее источников, систематическая погрешность рас­сматривается по составляющим в зависимости от источников ее возникновения, причем различают методическую, инструменталь­ную и субъективную составляющие погрешности.

Субъективные систематические погрешности связаны с инди­видуальными особенностями оператора. Как правило, эта погреш­ность возникает из-за ошибок в отсчете показаний (примерно 0,1 деления шкалы) и неопытности оператора. В основном же систе­матические погрешности возникают из-за методической и инст­рументальной составляющих.

Методическая составляющая погрешности обусловлена несо­вершенством метода измерения, приемами использования СИ, некорректностью расчетных формул и округления результатов.

Инструментальная составляющая возникает из-за собствен­ной погрешности СИ, определяемой классом точности, влия­нием СИ на результат и ограниченной разрешающей способ­ности СИ.

Целесообразность разделения систематической погрешности на методическую и инструментальную составляющие определяет­ся следующими моментами:

• для повышения точности измерений можно выделить лими­тирующие факторы, а следовательно, принять решение об усо­вершенствовании методики или выборе более точных СИ;

• появляется возможность определить составляющую общей по­грешности, увеличивающейся со временем или под влиянием внеш­них факторов, а следовательно, целенаправленно осуществлять периодические поверки и аттестации;

• инструментальная составляющая может быть оценена до раз­работки методики, а потенциальные точностные возможности выбранного метода определит только методическая составляю­щая.

То есть все виды составляющих погрешности нужно анализи­ровать и выявлять в отдельности, а затем суммировать их в зави­симости от характера, что является основной задачей при разра­ботке и аттестации методик выполнения измерений.

В ряде случаев систематическая погрешность может быть исклю­чена за счет устранения источников погрешности до начала измере­ний (профилактика погрешности), а в процессе измерений — путем внесения известных поправок в результаты измерений.

Профилактика погрешности — наиболее рациональный спо­соб ее снижения и заключается в устранении влияния, напри­мер, температуры (термостатированием и термоизоляцией), маг­нитных полей (магнитными экранами), вибраций и т. п. Сюда же относятся регулировка, ремонт и поверка СИ.

Исключение постоянных систематических погрешностей в про­цессе измерений осуществляют методом сравнения (замещения, противопоставления), компенсации по знаку (предусматривают два наблюдения, чтобы в результат каждого измерения систематичес­кая погрешность входила с разным знаком), а исключение пере­менных и прогрессирующих — способами симметричных наблюде­ний или наблюдением четное число раз через полупериоды.

Пример 2.3. Пусть периодическая погрешность меняется по закону

, где φ — независимая величина, от которой зависит Δ (время, угол поворота и т.д.); Т— период изменения погрешности. Пусть при φ = φ₀ величина . Находим значение погрешности для φ = φ₀+ε, где ε— такой интервал, что .

Определим, чему равен интервал ε .

Р е ш е н и е. По условию для интервала ε имеем

2π/Т ε=π и ε=Т/2.

В этом случае

То есть периодическая погрешность исключается, если взять среднее двух наблюдений, произведенных одно за другим через интервал, равный полупериоду независимой переменной φ, оп­ределяющей значение периодической погрешности. То же будет и для нескольких пар подобного рода наблюдений (например, по­грешность от эксцентриситета в угломерных СИ).

2.4. Нормирование погрешностей и формы представления результатов измерений

Основные задачи нормирования погрешностей заключаются в выборе показателей, характеризующих погрешность, и установ­лении допускаемых значений этих показателей. Решение этих за­дач определяется целью измерений и использованием результатов. Например, если результат измерения используется наряду с дру­гими при расчете какой-то экспериментальной характеристики, то необходимо учитывать погрешности отдельных составляющих путем суммирования их СКО.

Если речь идет о контроле в пределах допуска и нет информа­ции о законах распределения параметра и погрешности, то доста­точно ограничиться доверительным интервалом с доверительной вероятностью. Эти показатели должны сопровождать результаты измерений тогда, когда дальнейшая обработка результатов не пре­дусмотрена.

Исходя из изложенного, для оценки погрешностей измере­ний необходимо: установить вид модели погрешности с ее харак­терными свойствами; определить характеристики этой модели; оце­нить показатели точности измерений по характеристикам модели.

При установлении модели погрешности возникают типовые статистические задачи: оценка параметров закона распределения, проверка гипотез, планирование эксперимента и др.

В соответствии с МИ 1317—86 точность измерения должна вы­ражаться одним из способов:

1. интервалом, в котором с установленной вероятностью на­ходится суммарная погрешность измерения;

2. интервалом, в котором с установленной вероятностью на­ходится систематическая составляющая погрешности измерений;

3. стандартной аппроксимацией функции распределения слу­чайной составляющей погрешности измерения и средним квадратическим отклонением случайной составляющей погрешности измерения;

4. стандартными аппроксимациями функций распределения систематической и случайной составляющих погрешности изме­рения и их средними квадратическими отклонениями и функци­ями распределения систематической и случайной составляющих погрешности измерения.

В инженерной практике применяется в основном первый спо­соб ( x= а± Δ; или Δ от Δ_min до Δ_max ; Р = 0,9).

Числовое значение результата измерения должно заканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности Δ.

При отсутствии данных о виде функций распределения со­ставляющих погрешности результата и необходимости дальней­шей обработки результатов или анализа погрешностей результаты измерений представляют в форме α, n, σ, Δ_c. Если вычислены гра­ницы неисключенной систематической погрешности, то следует дополнительно указать доверительную вероятности.

2.5. Внесение поправок в результаты измерений

Внесение поправок в результат является наиболее распростра­ненным способом исключения Δ_с. Поправка численно равна зна­чению систематической погрешности, противоположна ей по знаку и алгебраически суммируется с результатом измерения

q=- Δ_c (2.7)

Однако Δ_с, а следовательно, и q в зависимости, от условий измерения может рассматриваться либо как детерминированная, либо как случайная величина. Например, если погрешность опре­деляется только погрешностью СИ, то Δ_с — величина детермини­рованная. Если известен лишь диапазон изменения Δ_с, то она учи­тывается как случайная величина.

Для характеристики случайности Δ_с используются оценки ее математического ожидания M[Δ_с ] и дисперсии D[Δ_с], по которым подбирают вид закона плотности распределения f[Δ_с] (рис. 2.6). Тогда поправка q =-M[ Δ_с] и ее дисперсия D[Δ_с] характеризуют неопре­деленность систематической составляющей Δ_с при использовании конкретного СИ. Соответственно дисперсия поправки D[q] = D[Δ_с]. При D[q]=0 поправка q становится детерминированной величи­ной. Поэтому целесообразность введения поправки зависит от соотношения величин q, дисперсии случайной составляющей D [Δ_c^°] и числа измерений п. Для этого может быть использован вероят­ностный метод В.Г. Литвинова.

Пусть для конкретных условий измерений определены оценки D [Δ_c^°], q, D[q] и п. За действительное значение принято неисправ­ленное среднее арифметическое ряда x₁, x₂,…, x_n со СКО

.

При учете поправки q за действительное значение измеряемой величины принимают исправленное среднее .

Тогда оценка дисперсии исправленного значения х_{и с} составит п

Оценки х и х_ис являются случайными величинами и имеют свои функции плотности и φ(х_и._с) (рис. 2.7). Из-за наличия систематической составляющей и неопределенности значения q оценки х и х_ис оказываются смещенными относительно истин­ного значения х_И..

Чем меньше значение (2.8), тем оценка точнее. Точность этой оценки можно повысить за счет устранения смещения с или уменьшения дисперсии D[ ]. При учете поправки, с одной стороны, устраняется смещение оценки , при этом ее точ­ность повышается; с другой стороны, происходит снижение точ­ности оценки х_ис, так как увеличивается значение дисперсии D[х_ис] из-за неопределенности поправки. Поэтому для уточнения оцен­ки предлагается критерий относительной эффективности.

Если е < 1, то исправленная оценка х_ис будет точнее, чем , и поправку следует учитывать. Если е > 1, то более точной является оценка . Если е = 1, то оценки и х_ис равноценны по точности.

Для инженерных расчетов генеральные значения в формуле (2.9) можно заменить статистическими оценками, т.е.

Из условия следует, что при любом числе измерений поправку необходимо учитывать, если выполняется