2 Линейные нормированные пространства и операторы в них

Тема 1

Линейные нормированные пространства

2.1.1 Проверить, является ли функция p нормой в пространстве X. Образует ли пара , где , метрическое пространство (таблица 2.1.1)?

Таблица 2.1.1

вариант	X	p(x)
1
2
3
4
5
6

2.1.2 Является ли множество А выпуклым в пространстве X (таблица 2.1.2)?

Таблица 2.1.2

вариант	X	A
1		неубывающие функции
2
3		многочлены степени n
4
5		многочлены степени k
6

2.1.3 Проверить, является ли данная последовательность векторов в бесконечномерном пространстве X линейно независимой (таблица 2.1.3).

Таблица 2.1.3

вариант	X
1
2
3
4
5		− функция Дирихле
6

2.1.4 Привести пример последовательности , которая сходится в X, но не сходится в Y, если пространства X и Y наделены

естественными нормами (таблица 2.1.4).

Таблица 2.1.4

вариант	1	2	3	4	5	6
X
Y

2.1.5 Являются ли нормы p и q эквивалентными в пространстве E (таблица 2.1.5)?

Таблица 2.1.5

вариант	E	p	q
1	2	3	4
1
2
3

Окончание таблицы 2.1.5

1	2	3	4
4	с
5
6

2.1.6 Построить изоморфизм между фактор-пространством L/M и

одним из стандартных линейных пространств (таблица 2.1.6).

Таблица 2.1.6

вариант	L	M
1
2
3
4
5
6

Примеры решения типовых задач

1 Является ли множество А выпуклым в пространстве Х?

Пример 1 .

Решение Воспользуемся определением выпуклости. Возьмем

и покажем, что .

Действительно, так как и , то

.

Значит, множество А является выпуклым.

2 Проверить, является ли заданная система векторов в бесконечномерном пространстве Х линейно независимой.

Пример 1

Решение Покажем по определению, что система является линейно независимой. Пусть

. (1)

Подставив в это равенство , получим , а потому

.

Сокращая на и снова полагая , получим . Продолжая

этот процесс, окончательно будем иметь .

Возможно другое решение: алгебраическое уравнение (1) не может

иметь более n корней, если не все его коэффициенты равны нулю (по-

чему?).

Пример 2

.

Решение Заметим, что , .

Тогда , а значит, данные функции линейно зависимы.

3 Привести пример последовательности , сходящейся в Х, но не сходящейся в Y, если пространства Х и Y наделены естественными нормами.

Пример 1 .

Решение Рассмотрим последовательность , принадлежащую пространству . В пространстве она сходится к вектору , так как

при .

Допустим, что .

Так как , то сходится к а и в пространстве . В силу единственности предела, отсюда следует, что . Но . Это противоречие доказывает, что в данная последовательность не сходится.

Пример 2

Решение Рассмотрим последовательность в пространстве . Тогда в имеем:

при , то есть в .

Допустим, что сходится в к некоторому а. В силу неравенства Коши-Буняковского,

.

Отсюда следует, что если в , то и в . В силу единственности предела, . С другой стороны, легко проверить, что . Противоречие. Следовательно, в данная последовательность не сходится.

Пример 3

Решение Рассмотрим последовательность . В имеем , но в 0 ( ₎. Значит, 0 в . Воспользовавшись неравенством: и рассуждая, как в предыдущих примерах, получим, что не сходится в .

4 Выяснить, являются ли нормы p и q эквивалентными в данном пространстве X.

Пример 1

Решение Очевидно, . Допустим теперь, что

, т. е. .

При последнее неравенство примет вид: .

Полученное противоречие доказывает, что нормы p и q не эквивалентны.

Пример 2

Решение Заметим, что . Допустим, что , то есть , и положим здесь . Тогда последнее неравенство примет вид , т. е. . Полученное противоречие показывает, что нормы p и q не эквивалентны.

Пример 3 .

Решение Так как , то

, то есть .

С другой стороны, так как

,

то , т.е. .

Итак, мы доказали, что p и q – эквивалентные нормы.

Пример 4 .

Решение В силу неравенства Коши-Буняковского, .

Допустим, что . Возьмем . Тогда , и последнее неравенство примет вид: , что невозможно ни при каком a. Значит, нормы p и q не эквивалентны.

5 Построить изоморфизм между фактор-пространством L/M и одним из стандартных линейных пространств.

Пример 1

Решение Возьмем произвольный элемент с. Его класс эквивалентности есть

_.

Это равенство показывает, что отображение корректно определено и инъективно. Очевидно также, что оно линейно и является сюръекцией (проверьте). Значит, – изоморфизм линейных пространств и .

Тема 2

Линейные ограниченные операторы в банаховых

пространствах

2.2.1 Пусть X,Y – нормированные пространства. Выяснить, совпадет ли область определения оператора А с нормированным пространством Х. Является ли оператор А линейным, непрерывным оператором из в Y (таблица 2.2.1)?

Таблица 2.2.1

вариант	Х	Y	A
1
2
3
4
5
6

2.2.2 Доказать, что оператор умножения А: Х Y является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица 2.2.2).

Таблица 2.2.2

вариант	Х	Y	A
1
2
3
4
5
6

2.2.3 Доказать, что диагональный оператор, действующий из Х в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица 2.2.3).

Таблица 2.2.3

вариант	Х	Y	A
1
2
3
4
5
6

2.2.4 Доказать, что оператор данный замены переменной, действующий из Х в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица 2.2.4).

Таблица 2.2.4

вариант	Х	Y	A
1
2
3
4
5
6

2.2.5 Доказать, что интегральный оператор, действующий из X в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица 2.2.5).

Таблица 2.2.5

вариант	Х	Y	A
1	2	3	4
1
2
3
4

Окончание таблицы 2.2.5

1	2	3	4
5
6

2.2.6 Для последовательности операторов X,Y Norm и установить: 1) сходится ли поточечно (сильно) к оператору А; 2) сходится ли по норме к оператору А (таблица 2.2.6).

Таблица 2.2.6

вариант	Х	Y		А
1
2				0
3				0
4				0
5				0
6

Примеры решения типовых задач

1 Пусть X,Y – нормированные пространства. Выяснить, совпадает ли область определения оператора А с нормированным пространством Х. Является ли оператор А линейным, непрерывным оператором из в Y?

Пример 1 .

Решение Если , то = . В силу неравенства Коши-Буняковского,

. (1)

Отсюда следует, что . Поэтому .

Оператор А не является линейным (рассмотрите, например, ). Исследуем его на непрерывность. Для любой точки оценим расстояние

(мы воспользовались числовым неравенством , а затем неравенством (1)). Поэтому получаем при что из следует . Значит, оператор A непрерывен на .

Пример 2 .

Решение В этом примере , так как , но (в обоих случаях сходимость ряда исследуется с помощью интегрального признака; проверьте это).

Очевидно, A является линейным оператором, поэтому исследование непрерывности равносильно исследованию ограниченности.

Докажем, что A не является ограниченным. Допустим противное, то есть что . При последнее неравенство примет вид

, т.е. .

Поскольку частичные суммы ряда не являются ограниченными, мы пришли к противоречию. Значит, A не является непрерывным.

Пример 3 .

Решение Возьмем , тогда . Рассмотрим

,

то есть . Значит, .

Легко проверить, что А − линейный. Докажем, что А − ограниченный. Используя предыдущее неравенство, получаем

.

Наконец, как известно, из ограниченности А следует его непрерывность.

Пример 4 .

Решение Здесь , так как последовательность но . Далее, оператор A не является линейным (как в примере 1). Докажем, что он не является непрерывным. Действительно, возьмём следующую последовательность точек из :

.

Тогда в , так как

при .

В то же время

.

Таким образом, из того, что , не следует, что . Мы показали, что А не является непрерывным в нуле, значит, A не является непрерывным на .

Пример 5 .

Решение Очевидно, что и что A − нелинейный. Покажем, что A не является непрерывным в нуле. Возьмём последовательность из . Она сходится к 0, так как при . Но в то же время

при .

То есть из того, что , не следует, что . Значит, A не является непрерывным на .

2 Доказать, что оператор является линейным ограниченным, и найти его норму.

а) Оператор умножения, действующий из X в Y.

Пример 1 .

Решение Ясно, что A − линейный оператор.

Так как

, (2)

то A ограничен с константой ограниченности . А так как норма оператора есть наименьшая из констант ограниченности, то .

Докажем теперь противоположное неравенство, т. е. что . Для этого постараемся подобрать такой ненулевой вектор , для которого неравенство (2) превращается в равенство. Возьмём . Тогда, как легко посчитать, . А так как , то . Сопоставляя полученные неравенства, заключаем, что .

б) Диагональный оператор, действующий из в .

Пример 1 .

Решение Ясно, что A − линейный оператор. Так как

,

то оператор A ограничен, причем . Возьмём . Тогда . Значит, (почему?). Из полученных неравенств следует, что .

Пример 2 .

Решение Оператор A − линейный. Докажем неравенство ограниченности:

. (3)

Значит, оператор А − ограничен, причем .

В отличие от предыдущих примеров, здесь не существует ненулевого вектора, при котором неравенство (3) превращается в равенство (подумайте, почему?). Поэтому будем подбирать ненулевые векторы х так, чтобы обе части (3) мало отличались друг от друга. Возьмём (единица стоит на 2k-м месте). Тогда имеем

,

откуда (см. решение примера 1). Ввиду произвольности k, отсюда следует, что . Окончательно получаем: .

в) Оператор замены переменной.

Пример 1 .

Решение Oчевидно, оператор A − линеен. Докажем его ограниченность:

, (4)

поскольку, как легко проверить, . Следовательно, . Далее, так как при неравенство (4) превращается в равенство, то (см. решения предыдущих примеров). Итак, .

Пример 2 .

Решение Oчевидно, что оператор A − линеен. Докажем его ограниченность:

(5)

(мы воспользовались тем, что ). Значит, .

Как и в примере 2 пункта б), не существует ненулевого вектора, при котором неравенство (5) превращается в равенство (подумайте, почему). Поэтому будем подбирать ненулевые векторы х так, чтобы обе части (5) мало отличались друг от друга. Возьмём последовательность , состоящую из функций, сосредоточенных в окрестности точки и таких, что . Тогда

.

Значит, . Перейдем в последнем неравенстве к пределу при . Воспользовавшись тем, что при , получим:

.

Из полученных неравенств следует, что .

г) Интегральный оператор, действующий из X в Y.

Пример 1 .

Решение Из свойства линейности интеграла следует, что А – линейный оператор. Далее,

. (6)

Значит, оператор А − ограничен, причем . Заметим, что неравенство (6) превращается в равенство при , но эта функция не принадлежит . Возьмем следующую последовательность функций из , которые «похожи» на при больших n (сделайте чертеж):

.

Легко видеть, что в . Вычислим в . Так как функция − четная на , то

.

Значит, , а потому . Окончательно получаем, что .

3 Для последовательности операторов X,Y Norm и установить: 1) сходится ли поточечно (сильно) к оператору А; 2) сходится ли по норме к оператору А.

Пример 1 .

Решение 1) Заметим, что

при

как остаток сходящегося ряда. Значит, последовательность сходится поточечно (то есть сильно) к оператору А.

2) Воспользуемся тем, что . Возьмем вектор (единица стоит на -м месте). Тогда

.

Так как , то не сходится по норме к А.

Тема 3

Обратные операторы

2.3.1 Пусть . Доказать, что существует непрерывный обратный оператор , и построить его (таблица 2.3.1).

Таблица 2.3.1

вариант	X	Y	A
1
2
3
4
5
6

2.3.2 Пусть .

1) Что представляет собой область значений оператора А?

2) Существует ли на левый обратный оператор ?

3) Является ли оператор ограниченным, если он существует?

4) Существует ли обратный оператор (таблица 2.3.2)?

Таблица 2.3.2

вариант	X	Y	A
1
2
3
4
5
6

2.3.3 Пусть , где – числовой параметр, – банахово пространство. Выяснить, при каких существует обратный оператор к оператору , построить его. При каких оператор непрерывно обратим (таблица 2.3.3)?

Таблица 2.3.3

вариант		Y
1
2
3
4
5
6

Примеры решения типовых задач

1 Пусть Доказать, что существует непрерывный обратный оператор , и построить его.

Пример 1

Решение Очевидно, что А – линейный оператор. Докажем, что А является биекцией. Рассмотрим уравнение , которое равносильно системе уравнений

, .

Отсюда

. (1)

А так как несложно найти константу С, такую, что

, (2)

то . Мы получили, что уравнение имеет единственное решение х из . Значит, А – биекция. Более того, из (1) следует, что обратный оператор задается формулой

Ограниченность этого оператора следует из оценки

(см. (2)).

Пример 2

Решение Очевидно, что А – линейный оператор.

Запишем его в виде

,

и рассмотрим уравнение , то есть

. (3)

Пусть

. (4)

Тогда (3) примет вид , откуда . Мы получили общий вид решения уравнения (3) с неопределенным коэффициентом с. Подставив это выражение в (4), без труда находим, что

.

Таким образом,

. (5)

Итак, уравнение (2) имеет единственное решение из . Значит, оператор А обратим, причем обратный оператор вычисляется по формуле (5).

Непрерывность обратного оператора вытекает из теоремы об оценке интеграла. Действительно, по этой теореме

,

а потому выполняется неравенство ограниченности (другое доказательство непрерывности получается из (5) с помощью теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Римана).

2. Пусть

1) Что представляет собой область значений оператора А?

2) Существует ли на левый обратный оператор ?

3) Является ли оператор ограниченным (в случае, если он существует?

4) Существует ли обратный оператор ?

Пример 1 .

Решение Очевидно, что

–

множество последовательностей из , первая координата которых равна нулю. Заметим, что

Так как уравнение имеет только нулевое решение, то . А это, как известно, равносильно тому, что левый обратный оператор существует. Легко проверить, что

.

Действительно, при всех х из имеем

.

Оператор ограничен, так как

Поскольку уравнение не при всех у имеет решение (например, при ), то А не является сюрьекцией. А это значит, что правого обратного оператора не существует. Следовательно, оператор А − необратим.

Пример 2 .

Решение По теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом (теорема Барроу), функция − дифференцируема, причем . Значит, . Кроме того, очевидно, что . Обратно, если и , то, по формуле Ньютона-Лейбница, . Поэтому

Рассмотрим оператор дифференцирования . Поскольку (снова по теореме Барроу) при всех , то – левый обратный для оператора А.

Покажем, что не является ограниченным оператором. Допустим противное, т. е.

.

Возьмём . Тогда последнее неравенство примет вид . Противоречие.

Поскольку , то А не является сюръекцией. Значит, правого обратного оператора не существует. Следовательно, не существует и .

3 Пусть , где – числовой параметр, − банахово пространство. Выяснить, при каких существует обратный оператор к оператору , построить его. При каких оператор непрерывно обратим?

Пример 1 .

Решение Для нахождения обратного оператора рассмотрим в уравнение , т. е. линейное дифференциальное уравнение

. (6)

Нужно выяснить, при каких у этого уравнения для любого существует единственное решение . Другими словами, для любого краевая задача

(7)

для уравнения (6) должна иметь единственное непрерывно дифференцируемое решение. Воспользовавшись формулой для общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка, получим общее решение уравнения (6):

. (8)

Требуется узнать, при каких для любого найдется такое С, при котором формула (8) дает решение задачи (7). Подставив (8) в (7), получим после упрощений

. (9)

Возможны два случая:

а) . Тогда уравнение (9) имеет единственное решение

для любого . Следовательно, при этих существует обратный оператор, который мы найдем, подставив это С в равенство (8):

.

В силу теоремы Банаха об обратном операторе, непрерывность этого оператора будет следовать из непрерывности оператора . Последний же факт легко доказать по Гейне. Действительно, если в пространстве , то это значит, что и равномерно на . Но тогда и равномерно на ;

б) . В этом случае уравнение (9) имеет вид

.

Так как правая часть этого уравнения при некоторых непрерывных у (например, при не будет равна 0, то при этих у уравнение (9) не имеет решения (относительно С), а потому оператор − не сюръективен.

Итак, обратный оператор к оператору существует тогда и только тогда, когда . Причем при таких оператор непрерывно обратим.