3 Теоретичні аспекти надійності та діагностики електрообладнання

3.1 Емпіричні залежності для оцінювання надійності

Для кількісного оцінювання надійності чи ненадійності роботи будь-якого виробу необхідно мати інформацію про поведінку цілої групи таких виробів, тобто простежити, як відмовляють елементи в часі. У цьому випадку можливі дві ситуації, які можна проілюструвати графіками (рис. 1.1). Ці графіки являють собою залежності кількості працездатних елементів у часі, тобто n(t) у вигляді гістограми (а) та її лінійної апроксимації (б), коли графік проходить через значення n(t_i) на початку часового інтервалу.

Рисунок 1.1 – Дискретна (гістограма) і неперервна (апроксимована) функції n(t)

З графіків рис. 1.1 насамперед можна визначити:

1) функцію працездатності (надійності):

, (1.1)

де - початкова кількість елементів. Очевидно, що Р^*(0) = 1, а Р*() = 0.

2) кількість елементів, які вийшли з ладу (відмовили) за час t;

. (1.2)

Тоді швидкість виходу з ладу можна визначити як відношення n/t.

3) нормалізована форма цієї швидкості (густина відмов):

. (1.3)

Зрозуміло, що така функція залежить від того, в якому місці на осі часу розглядається інтервал t, і тому не може бути параметром надійності елемента. Цього можна уникнути, якщо швидкість виходу з ладу елементів розділити на n(t_i)

. (1.4)

Отримана характеристика називається емпіричною інтенсивністю відмов, або емпіричною функцією азарту. Крім емпіричної функції надійності P*(t), широко використовується емпірична функція ненадійності (відмов) Q*(t)

. (1.5)

Залежності (1.1)–(1.5) записані для випадку, коли n(t) зображено у графіку на рис. 1(а), до того ж на всьому часовому інтервалі. У випадку, коли n(t) зображено у графіку на рис. 1(б), емпіричну функцію надійності в будь-який момент часу розраховуємо за формулою:

. (1.6)

Графічний вираз (1.6) наведено на рис. 1.2, а функції f^*(t) i ^*(t) у цьому випадку набувають вигляду:

. (1.7)

. (1.8)

Величина n(t) визначається за даними спостереження в моменти часу

t + t_i+1 та t - t_i+1 , між якими знаходиться час t:

(1.9)

Розглянуті випадки відносяться до умови, коли або є змінним. У той самий час можна змінювати не довільно, а фіксувати інтервали часу, протягом якого відмовляє один елемент, тобто:

.

(1.10)

Рисунок 1.2 – Залежність емпіричної функції надійності від часу

У цьому випадку:

; ti<t<ti+1, ; ti<t<ti+1.

(1.11) (1.12)

3.2 Розрахунок надійності нерезервованих систем без відновлення при логічному послідовному та паралельному зєднаннях елементів

Одним з найбільш поширених логічних зв'язків нерезервованих систем є логічне з'єднання. Залежно від схеми розрізняють послідовне та паралельне логічні зєднання.

Логічне послідовне з'єднання – це з'єднання, коли відмова хоча б одного елемента системи призводить до відмови системи в цілому. У цьому випадку час безвідмовної роботи системи дорівнює мінімальному значенню часу напрацювання до відмови елементів, з яких складається система (рис. 1.3).

Рисунок 1.3 – Логічна послідовна схема зєднання n елементів

Якщо позначити ймовірність безвідмовної роботи і-го елемента системи , то ймовірність безвідмовної роботи декількох логічно послідовно з'єднаних елементів, згідно з теоремою множення, дорівнює добутку ймовірностей безвідмовної роботи кожного елемента:

. (1.13)

Очевидно, що чим більша кількість елементів, з'єднаних логічно послідовно, тим ймовірність безвідмовної роботи системи буде меншою.

Логічне паралельне з'єднання – це таке логічне з'єднання елементів, за якого відмова будь-якого елемента не призводить до відмови всієї системи; система вийде з ладу тільки після відмови всіх елементів (рис. 1.4). Середній час напрацювання до відмови системи Т_o у цьому випадку дорівнює максимальному середньому часу напрацювання відмови Т_imax елементів системи.

Рисунок 1.4 – Логічна паралельна схема з'єднання n елементів

Імовірність безвідмовної роботи при логічному паралельному з'єднанні визначається, виходячи з ймовірностей відмови одного елемента:

Q_i(t)=1-P_i(t), (1.14)

де P_i(t) – імовірність безвідмовної роботи одного елемента.

Тоді ймовірність відмов кількох логічно паралельно з'єднаних елементів Q(t) дорівнює добутку ймовірностей відмов кожнoгo елемента:

Q(t)=Q₁(t)Q₂(t)...Q_n(t)= (1.15)

З урахуванням (1.14) і (1.15) запишемо ймовірність безвідмовної роботи системи:

. (1.16)

Для n=2 імовірність безвідмовної роботи системи визначають як імовірність того, що або перший, або другий елемент працездатний. Цій логічній функції згідно з (1.16) відповідає такий вираз:

P(t)=1-[1-P₁(t)][1-P₂(t)]= P₁(t)+ P₂(t)- P₁(t)P₂(t). (1.17)

Для n=3 імовірність безвідмовної роботи системи знаходять як імовірність того, що або перший, або другий, або третій елемент працездатний. Цій логічній функції відповідає такий вираз:

(1.18)