6. Линии разрыва напряжений.

Выше говорилось, что при определенных условиях поля напряжений могут быть разрывными вдоль линий скольжения. Если разрывны только производные, такой разрыв решения называется слабым. Если же решение, удовлетворяющее граничным условиям, само имеет разрыв, такой разрыв называется сильным.

Вдоль линии разрыва напряжения должны удовлетворять простым условиям, вытекающим из уравнений равновесия и условия текучести. Рассмотрим бесконечно малый элемент, лежащий на линии разрыва и имеющий исчезающе малую толщину. На гранях элемента действуют нормальные напряжения , и касательное напряжение . Обозначим компоненты напряжения с разных сторон линии разрыва индексами + и –. Поскольку толщина элемента стремится к нулю, из условия равновесия следует необходимость соотношений

, (4.33)

а значит, разрыв может испытывать только напряжение .

Условие текучести справедливо по обе стороны линии разрыва, значит, по обе стороны справедливы соотношения (4.25), из которых получаем

откуда находим

. (4.34)

Поскольку элемент лежит на линии разрыва, возьмем

. (4.35)

В итоге имеем скачок на линии разрыва. Соответственно, скачок среднего давления составит

. (4.36)

Отметим также, что из (4.25) условия (4.33) можно переписать в виде

,

откуда , где – целое число. Если перед скобкой взять знак +, распределение напряжений в окрестности предполагаемой линии разрыва будет непрерывным. Поэтому возьмем знак – , что даст нам

, (4.37)

то есть угол наклона линий скольжения меняется скачком на линии разрыва напряжений. Также скачком меняется и кривизна линий скольжения.

Линия скольжений не может быть линией разрыва напряжений, поскольку на линии скольжения , а значит .

7. Неединственность поля напряжений. Предельная нагрузка. Критерий выбора.

Построение поля скольжения связано с выделением пластических и жестких областей, которое в некоторой степени произвольно, поскольку в жесткой области напряжения не определены. Из-за этого возникает проблема неединственности полей напряжений в жесткопластической задаче, а значит, необходим какой-то признак, по которому из множества возможных решений можно выбрать наиболее подходящее.

Рассмотрим для примера симметричную полосу с круговым отверстием, растягиваемую силой, приложенной в направлении вертикальной оси (рис. 4.7.1, в вертикальном направлении полоса много длиннее, чем в горизонтальном, на рисунке приведен лишь участок вблизи отверстия).

4.7.1 Неединственность поля скольжения.

Здесь есть две свободные границы – прямолинейная внешняя и дуговая внутренняя. Соответственно можно построить треугольное поле равномерного одноосного растяжения от внешней границы и криволинейный треугольник из логарифмических спиралей – от дуговой. Каждое из этих полей может пересечь всю область целиком (рис. 4.7.1. б, в). Также они могут существовать одновременно, встречаясь в некоторой точке на горизонтальной оси (рис. 4.7.1. а).

В треугольнике у внешней границы напряженное состояние имеет вид

, (4.38)

а в криволинейном треугольнике у внутренней границы в полярных координатах описывается следующими выражениями:

. (4.39)

На горизонтальной оси симметрии в направлении растяжения полосы в треугольнике у внешней границу будет действовать , а в криволинейном треугольнике у внутренней – . Интегрируя их по соответствующим отрезкам на горизонтальной оси и складывая, получим предельную нагрузку для полосы (то есть такую нагрузку, при которой пластическая область пересекает всю полосу, полностью отделяя друг от друга жесткие области):

, (4.40)

где – полярный радиус точки соприкосновения областей.

Таким образом, имеется бесконечное множество решений задачи о предельной нагрузке. Однако в действительности реализуется всегда та конфигурация пластической зоны, которая дает минимальную предельную нагрузку. Как нетрудно увидеть, это конфигурация, приведенная на рис. 4.7.1. в, при которой .

Заключение главы 4.

Жесткопластическое тело является крайне упрощенной моделью реального деформируемого твердого тела. Она позволяет в некоторых случаях достаточно просто получать полезные на практике решения, однако в настоящее время при наличии мощных вычислительных средств этот подход потерял свою актуальность. Математическое моделирование, производимое при помощи компьютерных программ на основе более общей теории упругопластического деформирования, позволяет решать неизмеримо больший круг задач, в том числе для тел с весьма сложной геометрией и условиями нагружения. Построению математической модели упругопластического деформирования твердого тела посвящена следующая глава.