1. Индивидуальные задания
1.1. Теоретические упражнения
Вывести уравнения касательной и нормали к графику функции.
Доказать теорему о связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке.
Доказать теоремы о дифференцируемости.
Произведения двух функций.
Отношения двух функций.
Суммы двух функций.
Сложной функции.
Доказать теорему о связи между производными прямой и обратной функций.
Доказать теоремы о производной, ее обобщение.
y = loga x.
y = ax.
y = xn.
y = sin x.
y = cos x.
y = arcsin x.
y = arccos x.
y = arctg x.
y = arctg x.
y = ch x.
y = sh x.
y = th x.
y = cth x.
Доказать теорему о производной степенно-показательной функции.
Доказать теорему о производной функции, заданной параметрически.
Доказать теоремы.
Ферма, ее геометрический смысл.
Ролля, ее геометрический смысл.
Лагранжа, ее геометрический смысл.
Коши.
Обосновать применение к приближенным вычислениям значения функций.
Вывести приближенную формулу вычисления значений
.Вывести приближенную формулу для вычисления значений
.Доказать теорему (правило Лопиталя) о раскрытии неопределенности
.Доказать теорему (правило Лопиталя) о раскрытии неопределенности
.Вывод формулы Тейлора.
Доказать теорему о критерии возрастания функции на промежутке.
Доказать теорему о критерии убывания функции на промежутке.
Доказать теорему о необходимом условии локального экстремума.
Доказать теорему о достаточном условии локального экстремума, исполь- зующего производную первого порядка.
Доказать теорему о достаточном условии локального экстремума, использующего производную второго порядка.
Доказать теорему о достаточном условии выпуклости (вогнутости) графика функции на промежутке.
Доказать теорему о необходимом условии перегиба графика функции.
Доказать теорему о достаточном условии перегиба графика функции.
Доказать теорему о необходимом и достаточном условии существования наклонной асимптоты графика функции.
Доказать теорему о дифференцируемости функции двух переменных в точ ке.
Доказать теорему о производной сложной функции многих переменных.
Доказать теорему об инвариантности (неизменности) формы полного дифференциала функции многих переменных.
Доказать теорему о смешанных частных производных.
Вывести уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.
Доказать теорему о необходимом условии локального экстремума функции нескольких аргументов.
Доказать теорему о достаточном условии локального экстремума функции нескольких переменных.
Обосновать применение полного дифференциала к приближенным вычислениям значений функции многих переменных.
Обосновать правило нахождения производной для функции одного аргумента, заданной неявно через частные производные.
1.2. Практические задания
1.2.1.Задание 1
Пусть
y=f(x)
издержки производства однородной
продукции от количества продукции х.
Найти предельные издержки производства
.
Задание выбирается из табл.1.1.
Таблица 1.1
К заданию 1
№№ |
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
Продолжение табл.1.1.
№№ |
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
9 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
Продолжение табл.1.1
№№ |
а) |
Б) |
в) |
г) |
д) |
17 |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 1.1
№№ |
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
26 |
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
Продолжение табл.1.1.
№№ |
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
35 |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
Продолжение табл.1.1.
№№ |
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
