Графики и основные свойства элементарных функций График линейной функции

Линейная функция задается уравнением  . График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.

Пример 1

Построить график функции  . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Если  , то 

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

Если  , то 

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

  А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж:

При оформлении чертежа всегда подписываем графики.

Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:

  Обратите внимание, как я расположил подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа. В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых   ,   или справа внизу между графиками.

1) Линейная функция вида   ( ) называется прямой пропорциональностью. Например,  . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида   задает прямую, параллельную оси  , в частности, сама ось   задается уравнением  . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись   следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

3) Уравнение вида   задает прямую, параллельную оси  , в частности, сама ось   задается уравнением  . График функции также строится сразу. Запись   следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде   или  .

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

График квадратичной, кубической функции, график многочлена

Парабола. График квадратичной функции   ( ) представляет собой параболу. Рассмотрим канонический случай: 

Вспоминаем некоторые свойства функции  .

Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси   мы не выбрали – для каждого «икс» существует точка параболы. Математически это записывается так:  . Область определения любой функции стандартно обозначается через   или  . Буква   обозначает множество действительных чисел или, проще говоря, «любое икс»  (когда работа оформляется в тетради, пишут не фигурную букву  , а жирную букву R).    

Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае:   – множество всех положительных значений, включая ноль. Область значений стандартно обозначается через   или  .

Функция   является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси  . Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика, в чём мы скоро убедимся. Аналитически чётность функции выражается условием  . Как проверить любую функцию на чётность? Нужно  вместо   подставить в уравнение  . В случае с параболой проверка выглядит так:  , значит, функция   является четной.

Функция   не ограничена сверху. Аналитически свойство записывается так:  . Вот вам, кстати, и пример геометрического смысла предела функции: если мы будет уходить по оси   (влево или вправо) на бесконечность, то ветки параболы (значения «игрек») будут неограниченно уходить вверх  на «плюс бесконечность».

При изучении пределов функций желательно понимать геометрический смысл предела.

Я не случайно так подробно расписал свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций.

Пример 2

Построить график функции  .

В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения.

Сначала находим вершину параболы. Для этого берём первую производную и приравниваем ее к нулю:

Если с производными плохо, следует ознакомиться с уроком Как найти производную?

Итак, решение нашего уравнения:   – именно в этой точке и находится вершина параболы. Рассчитываем соответствующее значение «игрек»:

Таким образом, вершина находится в точке 

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция   – не является чётной, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке  находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком». Возможно, не все врубаются в суть челнока, тогда для сравнения напоминаю известную телепередачу «туды-сюды с Анфисой Чеховой».

Выполним чертеж:

Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции   ( ) справедливо следующее:

Если  , то ветви параболы направлены вверх.

Если  , то ветви параболы направлены вниз.