3. Пример решения задачи.
3.1. Условие.
Найти реакции опор и силу взаимодействия тел конструкции, изображенной на /рис.1/. Численные значении нагрузок : Р = 8 кН, Р2 = 12 кН, q = 1,8 кН/м, M = 24 кНм. Размеры на /рис.1/ даны в м.
Рис.1. Заданная схема конструкции.
3.2. Решение.
Данная конструкция является совокупностью тел АС и СВ . соединенных цилиндрическим шарниром С . Искомые реакции опор А и В и усилие в шарнире С действуют на оба тела. Поэтому рассмотрим равновесие каждого тела, освободив их от связей, заменив действие последних реакциями /рис. 2а, б/. Действие жесткой заделки А
на тело АС заменим реакцией , неизвестной по модули и по направлению, и парой сил с неизвестным моментом МА . Действие подвижной цилиндрической шарнирной опоры В заменяем реакцией , направленной перпендикулярно опорной плоскости. Расчленяя конструкцию в промежуточном шарнире С , действие тел друг на друга заменяем силами C и C , которые неизвестны по модулю и по направлению. По аксиоме о действии и противодействии C = C .
Рис.2. Расчетная схема конструкции.
На тела конструкции действуют плоские произвольные системы сил, поэтому равновесие каждого тела выражается тремя алгебраическими уравнениями. Следовательно, равновесие данной конструкции выражает система шести уравнений. Неизвестных в задаче также шесть: направление и модуль A , МА , модуль B , направление и модуль C . Следовательно, задача статически определенная.
Система уравнений конструкции:
|
(a)
|
В системе уравнений (a) , - силы, действующие на тела AC и CB соответственно.
Для составления системы уравнений (а) выбираем направление осей X и Y /рис.2/ и представляем:
При определении воспользуемся теоремой о моменте равнодействующей:
так как .
Распределённую нагрузку заменим равнодействующей , проходящей через центр тяжести эпюры q.
Составляем систему уравнений (а):
|
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) |
Решать систему уравнений будем методом подстановки, так как в уравнения входят от одного до трех неизвестных. Предварительно определим CD , и из прямоугольника /рис.2б/ :
; ; ;
Тогда
Решаем систему уравнений. При этом учитываем, что по модулю
, . Противоположность направления и , и , следующая из соотношения C = C , учтена на /рис.2/ и при составлении системы уравнений.
Из ( 6 ) = кН.
Из ( 5 ) = кН.
Из ( 4 ) = кН.
Из ( 1 ) кН.
Из ( 2 ) кН.
Из ( 3 )
кН.
Отрицательные значения указывают, что при заданных нагрузках направления , , противоположны первоначально принятым.
По полученным из решения значениям XA , YA , XC , YC определим и .
Их модули:
кН.
кН.
Направляющие косинусы :
;
.
Следовательно, .
Направляющие косинусы :
;
.
Следовательно, .
Графические построения и по их координатам приведены на /рис.3/.
Масштаб : 1 см 4 кН.
Рис.3. Построение и .
Стр.