Контрольные вопросы

1. Перечислите основные практические задачи, к которым эффективно применяется имитационное моделирование.

2. Назовите и охарактеризуйте основные подходы в имитационном моделировании.

3. Назовите и охарактеризуйте основные инструментальные средства имитационного моделирования.

4. Каковы общие тенденции, реализуемые при разработке современных инструментальных средств и систем имитационного моделирования сложных динамических систем?

5. Приведите примеры и охарактеризуйте наиболее часто используемые современные инструментальные средства имитационного моделирования.

6. Какие возможности и характеристики необходимо учитывать при выборе программных средств имитационного моделирования?

4. Основы теории вероятностей и статистики

4.1. Понятие случайной величины

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно.

Дискретной (прерывной) случайной величиной называется случайная величина, принимающая конечное или счетное множество отдельных друг от друга значений.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь разные формы.

Рядом распределения дискретной случайной величины Х называется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины х₁, х₂, ..., х_n с соответствующими им вероятностями р₁, р₂, ..., р_n:

хi	x1	x2	...	xn
pi	p1	p2		pn

Закон распределения также может быть задан аналитически (формулой) и графически (многоугольником распределения, соединяющим точки (x_i; p_i).

Функция распределения случайной величины – это вероятность того, что случайная величина (назовём её ξ) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x:

F(X) = P(ξ < X).

Для дискретной случайной величины функция распределения вычисляется для каждого значения как сумма вероятностей, соответствующих всем предшествующим значениям случайной величины. Ниже будет приведён пример, разъясняющий смысл сказанного.

4.2. Основные законы распределения дискретной случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:

M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n или

.

Свойства математического ожидания

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине:

М(С) = С.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(CХ) = С·М(Х).

3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х₁ + Х₂ + …+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) + ... + М(Х_n).

4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

М(Х₁ · Х₂ · ... · Х_n) = М(Х₁) · М(Х₂) · ... · М(Х_n).

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(X) = (x₁ – M(X))²p₁ + (x₂ – M(X))²p₂ + ... + (x_n – M(X))²p_n =

= x²₁p₁ + x²₂p₂ + ... + x²_np_n – [M(X)]².

Свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С² · D(Х).

3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х₁ ± Х₂ ± ... ± Х_n) = D(Х₁) + D(Х₂) + ... + D(Х_n).

Среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии:

.

Мода дискретной случайной величины Mo(X) – это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода – это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду.

Коэффициент вариации случайной величины – это относительная мера вариации:

V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%.

Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) As(X) – величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

As(X) = [(x₁ – M(X))³p₁ + (x₂ – M(X))³p₂ + ... + (x_n – M(X))³p_n]/σ³.

Если коэффициент асимметрии отрицателен As(X)<0, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.

Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) Ex(X) – величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения, т.е. степень так называемого «выпада». Коэффициент эксцесса дискретной случайной величины вычисляется по формуле: Ex(X) = [(x₁ – M(X))⁴p₁ + (x₂ – M(X))⁴p₂ + ... + (x_n – M(X))⁴p_n]/σ⁴ – 3.

Пример 4.1

Составить самим закон распределения случайной дискретной величины X, которая может принимать 5 значений:

хi	-2	-1	0	2	2
pi	0,1	0,2	0,5	0,1	0,1

Найти:

• её числовые характеристики;

• функцию распределения;

• вероятность того, что X примет значение меньше M(X);

• вероятность того, что X примет значение больше 0,5M(X).

Решение

Закон распределения дискретной случайной величины X – это перечень всех возможных значений с.в. X, которые она может принимать, и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей должна равняться 1.

Проверка: P = 0,1 + 0,2 + 0,5 + 0,1 + 0,1 = 1.

Многоугольник распределения (рис. 4.1) имеет вид:

Рис. 4.1. Многоугольник распределения дискретной случайной величины X

Математическое ожидание:

M(X) = -2·0,1 - 1·0,2 + 0·0,5 + 1·0,1 + 2·0,1 = -0,1.

Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонений значений случайной величины X от её математического ожидания:

D(X) = (-2 + 0,1)²·0,1 + (-1 + 0,1)²·0,2 + (0 + 0,1)²·0,5 + (1 + +0,1)²·0,1 + (2 + 0,1)²·0,1 = 1,09.

Среднее квадратичное отклонение – это корень квадратный из дисперсии:

.

Коэффициент вариации:

V(X) = |1,044/-0,1| · 100% = 1044%.

Коэффициент асимметрии:

As(X) = [(-2 + 0,1)³·0,1 + (- 1 + 0,1)³·0,2 + (0 + 0,1)³·0,5 + (1 + +0,1)³·0,1 + (2 + 0,1)³·0,1]/1,044³ = 0,200353.

Коэффициент эксцесса:

Ex(X) = [(-2 + 0,1)⁴·0,1 + (- 1 + 0,1)⁴·0,2 + (0 + 0,1)⁴·0,5 + (1 + +0,1)⁴·0,1 + (2 + 0,1)⁴·0,1]/1,044⁴ - 3 = 0,200353.

Функция распределения – это вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем какое-либо числовое значение x:

F(X) = P(X < x).

Значения определяем суммированием вероятностей. Функция распределения – функция неубывающая. Она принимает значения в интервале от 0 до 1.

P(X < -0,1) = F(-0,1) = 0,3;

P(X > -0,05) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,5 + 0,1 + 0,1 = 0,7.

График функции распределения (4.2) имеет вид:

Рис. 4.2. График функции распределения дискретной случайной величины X

Пример 4.2

M(X) = 5,6; D(X) = 3,04. Вычислить M(Y) и D(Y), если Y = 3x + 2.

Решение

M(Y) = 3M(X) + 2 = 3 · 5,6 + 2 = 18,8;

D(Y) = 3²·D(X) + 0 = 9 · 3,04 = 27,36.

Рассмотрим некоторые часто встречающиеся законы распределения дискретных случайных величин.

Биномиальное распределение

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события постоянна. Вероятности p_i вычисляют по формуле Бернулли:

.

Закон распределения имеет вид:

Для биномиального распределения:

• математическое ожидание: M(X) = np,

• дисперсия: D(X) = npq,

• мода: np – q ≤ Mo(X) ≤ np + p,

• коэффициент асимметрии ,

• коэффициент эксцесса .

В пределе при n→∞ биномиальное распределение по своим значениям приближается к нормальному с параметрами a = np и .

В пределе при n→∞ и при p→0 биномиальное распределение превращается в распределение Пуассона с параметром λ = np.

Геометрическое распределение

Производится серия испытаний. Случайная величина – количество испытаний до появления первого успеха (например, бросание мяча в корзину до первого попадания). Закон распределения имеет вид:

Если количество испытаний не ограничено, т.е. если случайная величина может принимать значения 1, 2, ..., ∞, то математическое ожидание и дисперсию геометрического распределения можно найти по формулам: M(X) = 1/p, D(X) = q/p².

Гипергеометрическое распределение

Имеется N объектов. Из них n объектов обладают требуемым свойством. Из общего количества отбирается m объектов. Случайная величина X – число объектов из m отобранных, обладающих требуемым свойством. Для вычисления вероятностей используются биномиальные коэффициенты (число сочетаний).

Закон распределения имеет вид:

Распределение Пуассона

Пусть имеется некоторая последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (будем называть это потоком событий). Интенсивность потока (среднее число событий, появляющихся в единицу времени) равна λ. Пусть этот поток событий – простейший (пуассоновский), т.е. обладает тремя свойствами:

1) вероятность появления k событий за определённый промежуток времени зависит только от длины этого промежутка, но не от точки отсчёта, другими словами, интенсивность потока есть постоянная величина (свойство стационарности);

2) вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись события в прошлом или нет (свойство «отсутствия последействия»);

3) появление более одного события за малый промежуток времени практически невозможно (свойство ординарности). Вероятность того, что за промежуток времени t событие произойдёт k раз, равна

.

Пример 4.3

Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 мин, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин. поступит: а) три вызова; б) менее трёх вызовов; в) не менее трёх вызовов. Поток вызовов – простейший.

Решение

Используем формулу Пуассона. λ = 2, t = 4.

P(0) = 8⁰/0!·e^-8 = e^-8 ≈ 0,000335

P(1) = 8¹/1!·e^-8 = 8e^-8 ≈ 0,002684

P(2) = 8²/2!·e^-8 = 32e^-8 ≈ 0,010735

P(3) = 8³/3!·e^-8 = 85,33e^-8 ≈ 0,014313

а) P(k=3) = 0,014313

б) P(k<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,013754

в) P(k≥3) = 1 – P(k<3) = 1 – 0,013754 = 0,986246