291
.pdf3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ И ДИАГНОСТИКА Методические указания к выполнению
лабораторных работ для студентов специальностей 150200 – Автомобили и автомобильное хозяйство, 240400 – Организация и безопасность движения
ВОРОНЕЖ 2002
4
УДК 630.36 Посметьев В.И. Основы теории надежности и диагности-
ка. Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальностей 150200 – Автомобили и автомобильное хозяйство и 240400 – Организация и безопасность движения/ Воронеж. гос. лесотехн. акад.; В.И. Посметьев, В.Л. Мурзинов, А.М. Кадырметов. Воронеж, 2002. – 24 с.
Представлена методика проведения лабораторных работ. Предложены многовариантные задания для самостоятельного выполнения. Предназначено для закрепления теоретических знаний по курсу «Основы теории надежности и диагностика».
Научный редактор – д-р техн. наук, проф. Посметьев В.И. Рецензент – заведующий кафедрой «Ремонт машин»
(ВГАУ), доцент, канд. техн. наук Чечин А. И.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Воронежской государственной лесотехнической академии
© Посметьев В.И., Мурзинов В.Л., Кадырметов А.М., 2002
© Воронежская государственная лесотехническая академия, 2002
5
1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ Освоить теорию надежности и приобрести навыки приме-
нения ее результатов к решению прикладных вопросов надежности автомобилей, автомобильного хозяйства и оборудования.
2 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Одним из факторов, сдерживающих повышение техниче-
ского уровня автомобилей, автомобильного хозяйства и оборудования, является недостаточная надежность и отсутствие системы испытаний на надежность в процессе изготовления опытного образца и в серийном производстве. Затраты на техническое обслуживание и ремонт оборудования очень высоки. Без методов и расчетов на основе теории надежности трудно установить момент остановки оборудования на ремонт и обслуживание. Современные методы определения и контроля показателей надежности, а также средства испытаний оборудования на надежность, позволяют повысить технический уровень оборудования автомобилей и автомобильного хозяйства.
3 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные понятия и определения надежности регламенти-
рованы стандартом. При изучении надежности технических устройств рассматриваются самые разнообразные объекты – машины, сооружения, аппаратура и др. В соответствии с государственными стандартами под понятием объект понимается предмет определенного назначения, рассматриваемый в период проектирования, производства, эксплуатации, исследований и испытаний на надежность.
Стандарт различает исправное и работоспособное состояние объекта. При исправном состоянии объект соответствует всем требованиям, установленным нормативно-технической документацией. В практике принято оценивать машины и оборудование не по исправному, а по работоспособному их состоянию. Одними из основных понятий в теории надежности являются:
– Работоспособность – это состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значе-
6
ния заданных параметров в пределах, установленных норма- тивно-технической документацией.
–Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта.
–Повреждение – событие, заключающееся в нарушении исправного состояния объекта при сохранении им работоспособного состояния.
–Сбой – самоустраняющийся отказ.
–Надежность – свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортирования.
–Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или некоторой наработки.
–Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта.
–Ремонтопригодность – свойство объекта, заключающееся в приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов и повреждений, к поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем проведения технического обслуживания и ремонтов. Машины и оборудование лесного комплекса относятся к категории ремонтируемых машин.
–Сохраняемость – свойство объекта сохранять работоспособность в течение и после установленного срока хранения или транспортирования.
4 ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
4.1 БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
P |
= P{X = m}= Cm pm qn−m , |
(1.1) |
m |
n |
|
7
где X – дискретная случайная величина; Pm – вероятность появления случайной величины; m = 0, 1, …, n; – возможные значения случайной величины; n – количество независимых опытов; p – вероятность появления ожидаемого события в каждом независимом опыте; 0< p <1; q = 1 – p.
Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение в соответствии с классическим определением имеют вид
n |
n |
|
||
mx = ∑m Pm = ∑m Cnm pm qn−m , |
(1.2) |
|||
m=1 |
m=1 |
|
||
n |
n |
|
||
Dx = ∑(m − mx )2 Pm = ∑(m − mx )2 Cnm pm qn−m , (1.3) |
||||
m=1 |
m=1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
σx = Dx . |
(1.4) |
При использовании производящих функций формулы (1.2) и (1.3) можно представить в более простой записи
mx = n p, |
(1.5) |
Dx = n p q . |
(1.6) |
Если вероятность появления ожидаемого события в каждом независимом опыте различна, то
n |
n |
|
mx = ∑pi , |
Dx = ∑pi qi |
(1.7) |
i=1 |
i=1 |
|
З а д а ч а 1 . Из лесного массива отправлено n = 5 лесовозов на лесопильные рамы. Каждый лесовоз может не доехать до места назначения с вероятностью p = 0.3 независимо от других лесовозов. Значением случайной величины Х здесь является
m– число не доехавших лесовозов. Найти:
1)вероятность того, что до места назначения доедет не менее
k = 2 лесовозов;
2)mx – наиболее вероятное число недоехавших лесовозов;
3)дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.
8
Р е ш е н и е . Число недоехавших автомобилей распределено по биномиальному закону. По формуле (1.1) строим табл.1.1.
Таблица 1.1 – вероятности для различного количества недоехавших лесовозов
m = 0, |
P |
= C0 |
p0 q5 |
= |
1 0.30 0.75 |
= 0.168; |
|
0 |
5 |
|
|
|
|
m = 1, |
P |
= C1 |
p1 q4 |
= |
5 0.31 0.74 |
= 0.360; |
|
1 |
5 |
|
|
|
|
m = 2, |
P |
= C2 |
p2 q3 |
= |
10 0.32 0.73 |
= 0.309; |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
m = 3, |
P |
= C3 |
p3 q2 |
= |
10 0.33 0.72 |
= 0.133; |
|
3 |
5 |
|
|
|
|
m = 4, |
P |
= C4 |
p4 q1 |
= |
5 0.34 0.71 |
= 0.028; |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
m = 5, |
P |
= C5 |
p5 q0 |
= |
1 0.35 0.70 |
= 0.002. |
|
5 |
5 |
|
|
|
|
1) Вероятность того, что до места назначения доедет не менее двух лесовозов соответствует условию – до места назначения не доедет не более трех лесовозов. Используя данные табл. 1.1 запишем:
P{X ≤ 3}= P + P + P + P =
=0.168 + 0.360 + 0.309 + 0.133 = 0.970 .
2)Наиболее вероятное число недоехавших лесовозов соответствует математическому ожиданию случайной величины Х0 1 2 3
mx = n p = 5 0.3 = 1.5 ,
т.е. наиболее вероятно: до места назначения не доедет от 1 до 2-х лесовозов.
3) Dx = n p q = 5 0.3 0.7 = 1.05 σx = Dx = 1.05 = 1.03 О т в е т : P{X ≤ 3}= 0.970 , mx = 1.5 , Dx = 1.05 .
4.2 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
P = |
am |
e−a , |
(2.1) |
|
|||
m |
m! |
|
|
|
|
|
где X – дискретная случайная величина; Pm – вероятность появления случайной величины; m = 0, 1, 2,… – возможные значения случайной величины; а – параметр распределения Пуассона.
9
t+τ |
|
a = ∫λ(z)dz . |
(2.2) |
t |
|
Если λ = const , то |
|
a = λ τ , |
(2.3) |
где λ – интенсивность потока событий; τ – время.
Используя производящие функции можно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины с распределением Пуассона равны между собой:
|
|
|
|
mx = Dx = a, σx = a . |
(2.4) |
З а д а ч а 2 . На станцию технического обслуживания поступают автомобили с интенсивностью λ = 0.8 авт./час. Найти вероятность того, что за время τ=2 часа:
1)не поступит ни одного автомобиля;
2)поступит ровно m1 автомобилей, m1=1;
3)поступит хотя бы m2 автомобилей, m2=1.
Ре ш е н и е . Интенсивность потока поступления автомобилей величина постоянная, поэтому воспользуемся формулой (2.3) для определения параметра распределения Пуассона, т.е.
a = λ τ = 0.8 2 . |
(2.5) |
1) Для события, что не поступит ни одного автомобиля соответствует значение m = 0 и, используя формулу (2.1) и (2.5), получим вероятность этого события
P0 = 1.60 e−1.6 = 0.202 . 0!
2) Для события, что поступит ровно один автомобиль вероятность определиться следующим образом
m = 1, P1 = 1.16!1 e−1.6 = 0.323.
3)P{X ≥ 1}= 1− P{X = 0}= 1− P0 = 1− 0.202 = 0.798 .
От в е т : P0 = 0.202 , P1 = 0.323, P{X ≥ 1}= 0.798 .
10
З а д а ч а 3 . На автозаправочную станцию с 0 ч до 6 ч 40мин прибывают автомобили с интенсивностью потока, линейно зависящего от времени, т.е.
λ(t) = B t + C авт./мин. |
(2.6) |
Поток прибытия автомобилей является пуассоновским нестационарным процессом. На основе статистических данных с учетом того, что 6 ч 40 мин = 400 мин дана интенсивность потока в начале и конце контролируемого временного интервала, т.е.
λn (tn = 0) = 0.2 авт/мин, |
(2.7) |
λk (tk = 400) = 0.4 авт/мин. |
(2.8) |
Найти вероятность P того, что за интервал времени от t1 = 195 мин (3 ч 15 мин) до t2 = 205 мин (3 ч 25 мин) поступит не менее
n=3 автомобилей.
Р е ш е н и е . Найдем значение коэффициентов В и С, входящих в формулу (2.6) из следующей системы уравнений
λn = |
B tn + C |
0.2 = |
B 000 + C |
, |
(2.9) |
λk = |
|
|
|
||
B tk + C |
0.4 = |
B 400 + C |
|
|
откуда В = 1/2000, С = 0.2. Воспользовавшись формулой (2.2), определим среднее число прибывших автомобилей в заданном интервале времени [195 мин, 205 мин]
|
205 |
|
|
|
|
t2 |
|
205 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
a = ∫ (B t + C)dt = (B |
|
+ C t) |
= |
||||||
2 |
|||||||||
|
195 |
|
|
|
|
|
195 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
(2052 |
−195 |
2 ) |
+ 0.2 |
(205 −195) |
= 3. |
|||
2000 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Искомая вероятность определится из следующего соотношения с использованием формулы (2.1)
P{X ≥ 3}= 1− (P |
+ P + P ) = 1− e−3 |
( |
30 |
+ |
31 |
+ |
32 |
) = 0.577. |
|
|
|
|
|||||||
0 |
1 |
2 |
0! |
1! |
2! |
|
|||
|
|
|
|
О т в е т : P{X ≥ 3}= 0.577 .
11
4.3 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
P = P{X = m}= |
Cam Cbn−m |
, |
(3.1) |
|
|||
m |
Can+b |
|
|
|
|
|
где X – дискретная случайная величина; Pm – вероятность появления случайной величины; m = 0, 1, 2,…, а – возможные значения случайной величины; a, b, n – параметры гипергеометрического распределения.
Важнейшие числовые характеристики случайной величины Х, имеющей гипергеометрическое распределение, равны соответственно:
–математическое ожидание
n a mx = a + b ,
n |
n |
m |
n−m |
|
mx = ∑m Pm = ∑m |
Ca |
Cb |
; |
|
|
|
|||
m=0 |
m=0 |
Can+b |
–дисперсия
n a b Dx = (a + b)2 +
|
a |
|
(a −1) |
|
+ n (n +1) |
|
|
|
|
(a + b) |
(a + b) −1 |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
a |
|
2 |
, |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||
a + b |
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
n−m |
|
Dx = ∑(m − mx )2 |
Pm = ∑(m − mx )2 |
Ca |
Cb |
|
Can+b |
||||
m=0 |
m=0 |
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
З а д а ч а 4 . На складе имеется (a + b)= 9 аккумулято-
ров; из них а = 5 новые аккумуляторы, а b = 4 бывшие в употреблении. Со склада случайным образом берутся n = 4 – аккумуляторов и передаются на станцию технического обслуживания. Найти:
1)вероятность того, что среди выданных аккумуляторов окажется не менее трех новых;
12
2)mx – наиболее вероятное число новых аккумуляторов в вы-
данной партии;
3)дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.
Ре ш е н и е . Построим ряд распределения случайной величины Х, используя формулу (3.1).
Таблица 3.1 – вероятности для различного количества новых аккумуляторов в выданной партии.
|
|
|
|
C0 |
C4 |
|
|
|
1 1 |
|
|
m = 0, |
P |
= |
|
5 |
4 |
= |
|
|
|
= 0.008; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
C4 |
|
|
126 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
C3 |
|
|
5 4 |
|
||
m = 1, |
P |
= |
|
5 |
4 |
= |
|
|
|
= 0.159; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
C4 |
|
|
126 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
C2 |
|
|
10 6 |
|
||
m = 2, |
P |
= |
|
5 |
4 |
|
= |
|
|
|
= 0.476; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
C4 |
|
|
126 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
C1 |
|
|
10 4 |
|
||
m = 3, |
P |
= |
|
5 |
4 |
= |
|
|
|
= 0.317; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
C4 |
|
|
126 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C4 |
C0 |
|
|
|
5 1 |
|
|
m = 4, |
P |
= |
|
5 |
4 |
|
= |
|
|
|
= 0.040. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
C4 |
|
|
126 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
1) Вероятность того, что в выданной партии аккумуляторов не менее трех новых соответствует условию, записанному на основании данных табл. 3.1:
P{X ≥ 3}= 1− (P0 + P1 + P2 ) =
=1− (0.008 + 0.159 + 0.476) = 0.643.
2)Наиболее вероятное число новых аккумуляторов в выданной партии соответствует математическому ожиданию случайной величины Х. Воспользуемся формулой (3.2)
m |
|
= |
n a |
= |
4 5 |
= 2.22 , |
x |
a + b |
|
||||
|
|
9 |
|
|||
|
|
|
|