- •Предисловие
- •I. Множества и операции над ними
- •Понятие множества
- •Способы задания множеств. Отношения между множествами
- •3. Объединение и пересечение множеств, их свойства
- •4. Разность множеств. Дополнение к подмножеству
- •Задача 3.
- •Задача 6
- •Контрольные вопросы
- •Упражнения
- •5. Разбиение множества на классы
- •6. Декартово умножение множеств
- •II. Элементы математической логики
- •2. Высказывания с кванторами
- •Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- •3. Отношение логического следования и равносильности
- •Строение теоремы. Виды теорем
- •6. Математические понятия
- •Отношения между понятиями
- •Умозаключения
- •III. Соответствия и отношения
- •Соответствия между элементами двух множеств.
- •2. Функции
- •3. Бинарные отношения
- •Алгебраические операции
- •IV. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •Об аксиоматическом построении теории
- •Сложение и умножение. Отношение «меньше» «больше»
- •Свойства операции сложения
- •Свойства операции умножения
- •Вычитание и деление
- •Правило вычитания числа из суммы
- •Правило вычитания суммы из суммы
- •Деление суммы на число
- •Деление разности на число
- •Деление произведения на число
- •4. Множество целых неотрицательных чисел. Деление с остатком
- •5. Свойства множеств натуральных и целых неотрицательных чисел
- •V. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами
- •1. Порядковые и количественные натуральные числа.
- •2. Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел.
- •Свойства операции сложения
- •3. Умножение целых неотрицательный чисел
- •Свойства операции умножения
- •4. Деление
Предисловие
Успешное обучение математике младших школьников требует от учителя не только методического мастерства, но и глубокого понимания сути математических понятий и фактов. Это предъявляет особые требования к математической подготовке учителя начальной школы. Учителю необходимо и умение использовать уроки математики для воспитания учащихся, в частности, для формирования у них основ научного мировоззрения.
Данное учебное пособие написано в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования. Оно нацелено на решение задачи обеспечения будущего учителя начальных классов базовыми математическими знаниями, необходимыми ему для грамотного, творческого обучения и воспитания младших школьников, для дальнейшей работы по углублению и расширению математических знаний.
Структура пособия такова: весь материал разбит на 5 глав, главы – на небольшие разделы. В начале каждого раздела излагается необходимый справочный материал, затем приводятся разнообразные образцы заданий с подробными решениями. В конце каждой главы – контрольные вопросы для самоконтроля по усвоению теоретического материала, здесь же предлагается комплекс упражнений для самостоятельной работы.
Профессиональная направленность пособия достигается посредством определенного отбора теоретического материала, а также включения заданий, выполняемых младшими школьниками. Эти материалы взяты, в основном, из действующих учебников по математике для начальных классов.
В пособии приведены задания для контрольных работ, которые преподаватель может использовать на аудиторных занятиях.
I. Множества и операции над ними
Литература [1] гл. 1, §1
Понятие множества
Понятие множества является одним из основных понятий математики. Понятия «множество», «элемент», «элемент, принадлежащий множеству», являются первичными неопределяемыми понятиями. Содержание этих понятий можно объяснить на примерах. Так, можно говорить о множестве жителей города, о множестве учащихся некоторой школы, о множестве натуральных чисел и т.д. В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляют слова «набор», «совокупность», «коллекция» и т.д. Один из создателей теории множеств Г. Кантор (Георг Кантор, 1845-1918, немецкий математик), писал: «Множество есть многое, мыслимое как единое, целое». Объекты любой природы (люди, буквы, числа и т.д.), составляющие множество, называются его элементами. Множество обычно обозначают большими буквами латинского алфавита, а их элементы малыми, «принадлежит» заменяют символом . Высказывание «объект а принадлежит множеству А» записывают так: а А. Высказывание «элемент а не принадлежит множеству А» записывают так: а А или а А.
Для некоторых числовых множеств имеются специальные обозначения. Так, множество всех натуральных чисел обозначают буквой N, всех целых чисел – Z, множество всех рациональных чисел – Q, множество всех действительных чисел – буквой R.
Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечное. Так, множество предметов, изучаемых в школе, конечно, а множество точек прямой бесконечно.
Рассматривают в математике и множество, не содержащее ни одного элемента, его называют пустым множеством и обозначают символом . Примерами пустого множества могут служить: множество людей на Солнце, множество действительных корней уравнения х2 + 1 = 0