3. Геометрическое определение вероятности

Обобщением понятия классической вероятности на случай опытов с бесконечным числом исходов является понятие геометрической вероятности.

Пусть в результате опыта в некоторой области наудачу появляется точка. Требуется определить вероятность события А, состоящего в том, что эта точка попадет в область , принадлежащую области. Эта вероятность вычисляется по формуле

,

где и– меры областиисоответственно.

Под мерой будем понимать длину, площадь и объем в одно-, двух- и трехмерных пространствах соответственно.

Задачи

1. На пол, покрытый кафельной плиткой со стороной a=6 см, случайно падает монета радиуса r=2 см. Найти вероятность того, что монета целиком окажется внутри квадрата.

2. Задача о встрече. Два парохода должны подойти к одному причалу в течении суток. Время прихода пароходов независимо друг от друга. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки одного парохода один час, а другого – два часа.

3. Дано линейное уравнение ах=b. Если а выбирать из промежутка [0;8], а b из промежутка [0;10], то какова вероятность того, что корень уравнения будет больше 1?

4. Минное заграждение состоит из мин, расположенных в одну линию на расстоянии 50 м одна от другой. Ширина корабля 20 м. Какова вероятность, что корабль благополучно пройдет заграждение?

5. В шар вписан куб. Найти вероятность того, что выбранная наудачу внутри шара точка окажется внутри куба.

6. Два человека договорились о встрече в определенном месте в промежутке времени от 19.00 до 20.00. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого и ожидает 15 минут. Какова вероятность того, что они встретятся?

7. Какова вероятность того, что произведение двух наугад взятых правильных положительных дробей будет не больше 1/4?

8. Наудачу выбирают два числа из промежутка [0,1]. Какова вероятность того, что их сумма заключена между 1/4 и 1?

9. Стержень длины L ломают на три части, выбирая случайным образом места разлома. Найти вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник.

10. Расстояние от пункта А до пункта В автобус проходит за 2 мин, а пешеход за 15 мин. Интервал движения автобуса 25 мин. В некоторый момент времени пешеход отправляется пешком из пункта А в пункт В. Что вероятнее: догонит его в пути очередной автобус или нет?

11. Даны две концентрические окружности радиусов R₁ и R₂ (R₁ > R₂). Найти вероятность того, что отрезок, соединяющий две точки на большей окружности не пересечет меньшей окружности.

12. В круге радиуса r проведены хорды, параллельные заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды меньше радиуса окружности, если равновозможны любые положения точки пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению?

4. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ

Элементарными исходами опыта называются такие исходы опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит один и только один из этих исходов.

Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.

Случайным событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. В противном случае события называют совместными.

Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта.

Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

События образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме дают достоверное событие.

Объединением или суммой событий А_k называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий А_k.

.

Пересечением или произведением событий A_k называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий A_k.

.

Задачи

1. В урне находится 12 пронумерованных шаров. Опыт состоит в извлечении одного шара из урны. Требуется:

1. составить пространство элементарных событий для данного опыта;

2. указать элементарные события, благоприятствующие событиям: А={появление шара с нечетным номером}, В = {появление шара с четным номером}, С = {появление шара с номером большим, чем 3}, D = {появление шара с номером меньшим, чем 7};

3. пояснить, что означают события ;

4. указать, какие из пар событий А, В, С, D совместны, а какие нет;

5. указать, какие из этих пар событий образуют полную группу, а какие нет;

6. привести примеры невозможного и достоверного событий;

7. привести пример другого пространства элементарных событий в данном опыте.

2. Какие из следующих пар событий являются несовместными, совместными:

   1. А = {выход из строя телевизора, работающего в гостиной}, В = {на кухне};

   2. А = {попадание при одном выстреле}, В= {промах};

   3. A= {выпадение герба при бросании монеты}, В = {выпадение решки};

   4. А={хотя бы одно попадание при двух выстрелах}, В= {два попадания}?

3. Каждый из двух стрелков производит по одному выстрелу в мишень. Пусть событие А = {первый стрелок попал в цель}, событие В = {второй стрелок попал в цель}. Что означают события:

a) A +В; б) А В;

в) .

2. Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Пусть событие А₁ – первый студент решил задачу, А₂ – второй студент решил задачу, A₃ – третий студент решил задачу. Выразить через события A_i (i = 1,2,3) следующие события:

А = {все студенты решили задачу};

В = {задачу решил только первый студент};

С = {задачу решил хотя бы один студент};

D = {задачу решил только один студент}.

2. Из корзины, содержащей красные, желтые и белые розы, выбирается один цветок. Пусть события А = {выбрана красная роза}, В = {выбрана желтая роза}, С={выбрана белая роза). Что означают события:

а) б) А+С в)

г) АС д) е) АВ+С

2. Пусть А, В, С – три произвольных события. Выразить через А, В, С и их отрицания следующие события:

а) произошло только событие С;

б) произошли все три события;

в) произошло по крайней мере одно из этих событий;

г) произошло по крайней мере два события;

д) произошло только два события;

е) ни одно событие не произошло;

ж) произошло не более двух событий.

2. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 1. Событие A_i = {элемент с номером i вышел из строя}, i= 1,2,3. Событие В = {схема вышла из строя (разрыв цепи)}. Выразить события и через события A_i.

Рис.1 Рис.2

2. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 2. Событие A_i={элемент с номером i вышел из строя}, i=1,2,3. Событие В={схема вышла из строя (разрыв цепи)}. Выразить события и через события A_i.

3. Назвать противоположные события для следующих событий:

   1. А={выигрыш 1-го игрока в шахматной партии};

   2. В={произошло хотя бы одно попадание при десяти выстрелах стрелах};

   3. С={произошло три попадания при трех выстрелах};

   4. D={произошло не более двух попаданий при пяти выстрелах};

   5. Е={в семейной паре муж старше жены}.