38. Алгебраические операции на нечетких множествах.

Включение нечеткого множества A’ в множество B’.

Степень включения (A’, B’) нечеткого множества A’ в нечеткое множество B’ определяется по формуле:

(A’, B’)= (_A’ (u)_B’ (u))= (_A’ (u) _B’ (u))=min{max{(1-_A’(u)); _B’(u)}}.

При этом операции дополнения, дизъюнкции и конъюнкции выполняются для каждого элемента базового множества.

Если  (A’, B’)0,5, то множество A’ нечетко включено в множество B’.

Равенство нечетких множеств A’ и B’.

Степень равенства нечетких множеств A’ и B’ определяется по формуле:

(A’,B’)=(_A’(u)_B’(u))=((_A’(u)_B’(u))(_B’(u)_A’(u)))=

min{min{max{(1-_A’(u)); _B’(u)}; max{(1-_B’(u)); _A’(u)}}}.

При этом операции дополнения, дизъюнкции и конъюнкции выполняются для каждого элемента базового множества.

Если  (A’, B’)0,5, то множества A’ и B’ нечетко равны.

39. Расстояния между нечеткими множествами, индексы нечеткости.

Пусть A и B - нечеткие подмножества универсального множества

E. Введем понятие расстояния r(A, B) между нечеткими

множествами. При введении расстояния обычно предъявляются следующие требования:

r(A, B) ³ 0 - неотрицательность;

r(A, B) = r(B, A) - симметричность;

r(A, B) < r(A, C) + r(C, B).

К этим трем требованиям можно добавить четвертое: r(A, A) = 0.

Определим следующие расстояния по формулам:

Расстояние Хемминга (или линейное расстояние):

r(A, B) = ½m_A(x_i) - m_B(x_i)½ .

Очевидно, что r(A, B)Î[0, n].

Евклидово или квадратичное расстояние:

e(A, B) = , e(A, B)Î[0, ].

Относительное расстояние Хемминга:

r(A, B) = , r(A, B)Î[0,1].

Относительное евклидово расстояние:

e(A, B)=, e(A, B)Î[0,1].

Расстояние Хемминга и квадратичное расстояние, в случае когда E

бесконечно, определяются аналогично с условием сходимости соответствующих сумм:

если E счетное, то

r(A, B) = ½m_A(x_i) - m_B(x_i)½ ,

e(A, B) = ;

если E = R (числовая ось), то

r(A, B) = ,

e(A, B) = .

Введем далее индекс нечеткостиили показатель размытости нечеткого множества. Если объект x обладает свойством R , порождающим нечеткое множество A лишь в частной мере, т.е. 0 ≤ μ A x ≤ 1 , то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта x в отношении свойства R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов A , обладающих свойством R , и классу объектовA ˉ , не обладающих свойством R . Эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам равны, т.е. μ A x = μ A ˉ x =0,5 , и минимальна, когда объект принадлежит только одному классу, т.е. либо μ A x = 1 и μ A ˉ x = 0 , либо μ A x = 0 и μ A ˉ x = 1 . 

40. Нечеткие отношения и операции над ними.

Пусть Е = Е₁´Е₂´ ...´Е_n

- прямое произведение универсальных множеств и М - некоторое множество принадлежностей (например М = [0,1]). Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. В случае n=2 и М = [0,1], нечетким отношением R между множествами X = Е₁ и Y = Е₂ будет называться функция R:(X,Y)® [0,1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х,y)ÎX´Y величину m _R(x,y) Î[0,1]. Обозначение: нечеткое отношение на X´Y запишется в виде: xÎX, yÎY: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение

R: X´X®[0,1] называется нечетким отношением на множестве X.

Объединение нечетких отношений r’₁={_r’1(x_i,x_j)/(x_i,x_j)} и r’₂={_r’2(x_i,x_j)/(x_i,x_j)} есть нечеткое отношение r’=(r’₁r’₂), степень принадлежности которому каждой пары (x_i,x_j) определяется формулой

_r’(x_i,x_j)= _r’1(x_i,x_j)_r’2(x_i,x_j)=max{_q’1(x_i,x_j); _q’2(x_i,x_j)}.

Пересечение нечетких отношений r’₁={_r’1(x_i,x_j)/(x_i,x_j)} и q’₂={_r’2(x_i,x_j)/(x_i,x_j)} есть нечеткое отношение r’=(r’₁r’₂), степень принадлежности которому каждой пары (x_i,x_j) определяется формулой

_r’(x_i,x_j)= _r’1(x_i,x_j)_r’2(x_i,x_j)=min{_q’1(x_i,x_j); _q’2(x_i,x_j)}.

Дополнение нечеткого отношения есть r’, степень принадлежности которому определяется формулой: _r’(x_i,x_j)=(1 - _r’(x_i,x_j).