4.6 Основные операции с объемами понятий

Основные операции с объемами и содержаниями понятий составляют часть так называемой теории множеств. К операциям с объемами понятий относятся пересечение, объединение, дополнение и вычитание.

Пересечение. С использованием языка логики предикатов операция пересечения запишется следующим образом:

WxP(x)WxQ(x),

где W – оператор образования множества из понятия (оператор выделения объема понятия из самого понятия). W указывает на то, что речь идет именно об объемах понятий;  – знак пересечения.

Если мы ищем пересечение, то для разных видов совместимых и несовместимых понятий результаты пересечений их объемов будут разными (рис. 5).

а

Рис. 5. Пересечение: а – тождественные понятия; б – перекрещивающиеся понятия; в – подчиненное и подчиняющее понятия; г – несовместимые (соподчиненные) понятия

Объединение. Операция объединения запишется так:

WxP(x)WxQ(x),

где  – знак объединения.

Объединение объемов понятий также может иметь различные варианты (рис. 6).

Дополнение. Дополнением объема понятия хР(х) до универсума области возможных значений переменной х называется множество тех элементов этого универсума, которые не принадлежат понятию хР(х) (рис. 7). Записывается дополнение следующим образом:

WxP(x)

Рис. 6. Объединение: а – тождественные понятия; б – перекрещивающиеся понятия; в – подчиненное и подчиняющее понятия; г – несовместимые (соподчиненные) понятия

Рис. 7. Дополнение

Вычитание. Формула вычитания имеет следующий вид:

WxP(x)\WxQ(x),

где \ – знак вычитания объема одного понятия из объема другого.

Вычитание объемов понятий имеет разные варианты (рис. 8).

Рис. 8. Вычитание: а – тождественные понятия; б – перекрещивающиеся понятия; в, г – подчиненное и подчиняющее понятия; д – несовместимые (соподчиненные) понятия

4.7 Основные операции с содержанием понятий

К основным операциям с содержанием понятий относятся отрицание, конъюнкция и дизъюнкция.

Отрицание: WxP(x)  WxP(x).

Конъюнкция:

а) Wx(P(x)Q(x))  WxP(x)WxQ(x);

б) Wx(P(x)Q(x))  WxP(x)\WxQ(x).

Дизъюнкция: Wx(P(x)Q(x))  WxP(x)WxQ(x).

4.8 Диаграммы Венна

Диаграммы Венна используют для установления отношений между объемами понятий.

Допустим, нам нужно найти отношение между объемами понятий «детективный или фантастический роман» и «американский детективный роман». Используя оператор выделения объема (W), запишем эти понятия на языке логики предикатов:

1) Wx(P(x)Q(x));

2) Wx(S(x)P(x)),

где х – роман; Р – детективный; Q – фантастический; S – американский.

Полученные выражения преобразуем с помощью операций с содержаниями понятий:

1) Wx(P(x)Q(x))  WxP(x)WxQ(x);

2) Wx(S(x)P(x))  WxS(x)WxP(x).

Теперь построим диаграмму. Для этого начертим квадрат, изображающий универсум, т.е. область значений переменнойх. Разделим его пополам по горизонтали. Пусть верхняя часть соответствует классу WxP(x), а нижняя – дополнению к нему WxP(x) (рис. 9, а). Затем разделим квадрат по вертикали на части, соответствующие классам WxQ(x) и WxQ(x) (рис. 9, б). Области, соответствующие классам WxS(x) и WxS(x), разместим на диаграмме так, как показано на рис. 9, в. По-разному заштрихуем части диаграммы, соответствующие классам WxP(x)WxQ(x) и WxS(x)WxP(x) (рис. 9, г).

WxP(x)

Рис. 9. Построение диаграммы Венна

На диаграммах объем второго понятия составляет часть объема первого. Значит, понятия являются совместимыми и находятся в отношении подчинения. Причем первое понятие оказалось подчиняющим, а второе – подчиненным.

Отношение совместимых понятий на диаграммах Венна легко определить (занимаемые ими области располагаются аналогично кругам Эйлера). Чтобы установить вид отношения между несовместимыми понятиями, нужно знать следующие правила:

• объемы противоречивых понятий занимают на диаграмме разные места, исчерпывая всю ее площадь;

• объемы соподчиненных понятий занимают на диаграмме просто разные места, не исчерпывая ее площадь;

• объемы противоположных понятий занимают на диаграмме диагонально расположенные клеточки.