Задача 12.
Найдите производную.
Пример.
Решение: Составим схему структуры данного выражения (рис 7)
Рис. 7 Схема
Ответ:
Задача 13.
Найдите производную.
Пример.
Решение:
Воспользуемся схемой структуры данной функции (рис. 8).
Рис. 8 Схема
Ответ:
Задача 14.
Найдите производную.
Пример.
Решение: Составим схему структуры данной функции (рис. 9)
Рис. 9 Схема
Ответ:
Дифференциал
Задача 3.
Найдите дифференциал
Дифференциал функции находится по формуле:
Пример.
Решение:
Найдем производную данной функции
;
Для нахождения дифференциала данной функции умножаем производную на дифференциал независимой переменной:
Ответ: .
Задача 4.
Вычислите приближенно с помощью дифференциала.
Если , тои
Примеры:
Решение: ;Ответ:
Решение: , , Ответ:
Производные высших порядков.
Задача 17.
Найдите производную n-го порядка.
Для выполнения этого задания необходимо воспользоваться таблицей производных n-го порядка некоторых функций (смотрите приложение В).
Примеры.
Решение:
………………………………………
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
…………………………………….
Ответ:
Решение:
………………………………………
Ответ:
Решение:
………………………………………
Ответ:
Решение:
………………………………
Ответ:
Решение:
………………………………
Ответ:
Задача 18.
Найдите производную указанного порядка.
Воспользуемся формулой Лейбница
Пример.
Решение:
Обозначим тогдаи можно воспользоваться формулой Лейбница.
Запишем формулу Лейбница для производной 4-го порядка:
Ответ:
Производные функций, заданных параметрически
Задача 15.
Найдите производную .
Если функция от независимой переменнойзадана с помощью вспомогательной переменной (параметра):
то производная от у по х определяется по формулам:
(1)
Примеры.
1.
Решение: Находим ии полученные значения подставляем в формулу (1)
,
,
Ответ:
2.
Решение:
Находим ии полученные результаты подставляем в формулу (1)
Ответ:
Задача 19.
Найти производную второго порядка от функции заданной параметрически.
Для нахождения второй производной используют следующую формулу
(2)
Пример.
Решение:
Находим производные от x и y по параметру t:
Искомая производная от y по x находится как отношение производных от y и от x по t:
Далее находим производную по формуле (2)
Ответ:
Уравнения касательной и нормали к кривой в точке
Задача 2.
Составить уравнения нормали и касательной в точке с абсциссой .
Если кривая определена уравнением , то уравнение касательной и нормали к ней в точке М с координатамиимеет соответственно вид
(3)
(4)
Этапы выполнения задания:
Подставляя в данное уравнение значение , находим значение.
Находим производную данной функции и ее значение при .
Подставляя значение ,ив уравнение касательной (или нормали), получим необходимое уравнение.
Пример. , x0 = –1.
Решение:
Подставляя значение в данное уравнение, находим значение ординаты:
Находим производную данной функции , а затем ее значение при
Подставляем значения ,,в уравнения (3) и (4) соответственно, получаем:
- уравнение касательной
- уравнение нормали.
Ответ: - уравнение касательной
- уравнение нормали.