7. Тема: Переменный ток

7.1 Основные формулы и указания к решению задачи

7.1.1. Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R

Если к концам участка цепи (рис. 7.1а) приложено напряжение U=U_mсost, то сила тока определяется законом ОмаI=U/R= (U_m/R) сost= =I_mсost, гдеI– амплитуда силы тока. Векторная диаграмма (рис. 7.1б) амплитудных значений токаI_mи напряженияU_mна резисторе показывает, что сдвиг фаз междуI_mиU_mравен нулю.

а б

Рис. 7.1. Схема цепи переменного тока (а) и

векторная диаграмма, соответствующая данной цепи (б).

7.1.2. Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью L

Если в цепи (рис. 7.2а) приложено переменное напряжение U = U_m сos t,то сила тока в такой цепиI=I_mсos(t–/2). ВеличинаR_L=Lназывается индуктивным сопротивлением. Векторная диаграмма (рис. 7.2б) показывает, что падение напряженияUопережает по фазе токI, текущий через катушку на/2.

а б

Рис. 7.2. Схема цепи переменного тока (а) и

векторная диаграмма, соответствующая данной цепи (б).

7.1.3. Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С

Если переменное напряжение приложено к конденсатору (рис. 7.3а), то он все время перезаряжается, и в цепи течет переменный ток. Если все внешнее напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих проводов можно пренебречь, то U=U_mсost. Сила токаI=I_mсos(t +/2), гдеI_m=U_m/(1/(C)).

Величина R_C= 1/(C) называется емкостным сопротивлением.

Падение напряжения на конденсаторе U отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на /2. Это показано на векторной диаграмме (рис. 7.3б).

А б

Рис. 7.3. Схема цепи переменного тока (а) и

векторная диаграмма, соответствующая данной цепи (б).

7.1.4. Цепь переменного тока, содержащая последовательно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую последовательно включенные резистор, катушку и конденсатор (рис. 7.4а). На рис. 7.4б представлена векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (U_R), катушке (U_L) и конденсаторе (U_C). АмплитудаU_mприложенного напряжения должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Уголопределяет разность фаз между напряжением и силой тока

. (7.1)

Из прямоугольного треугольника получаем

, (7.2)

откуда амплитуда силы тока имеет значение

. (7.3)

Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону

U=U_mсost, то в цепи течет токI=I_mсos(t–).

А б

Рис. 7.4. Схема цепи переменного тока (а) и

векторная диаграмма, соответствующая данной цепи (б).

Действующие значения тока и напряжения для синусоидального тока соответственно равны:

I=I_m/U=U_m/(7.4)

7.2 Примеры решения задач

Пример 1.В цепи переменного тока (f= 50Гц) с действующим напряжением 127Ввключены параллельно конденсатор емкостьюC= 24мкФи дроссель индуктивностьюL= 0,6Гни активным сопротивлениемR= 100Ом. Определите действующее значение подводимого к участку тока.

Дано: U= 127В;f= 50Гц;C= 2410^-6Ф;L= 0,6Гн;R= 100Ом.

I= ?

Решение. Начертим схему соединения приборов (рис. 7.5а) и построим векторную диаграмму токов (рис. 7.5б). При параллельном соединении элементов на каждом из них напряжение одинаковое, поэтому за основное направление возьмем вектор амплитуды напряжения.

а	б

Рис. 7.5. Схема цепи переменного тока (а) и

векторная диаграмма, соответствующая данной цепи (б).

Амплитуда тока в конденсаторе I_mСопережает амплитуду напряжения на/2, амплитуда тока в дросселеI_mdотстает от амплитуды напряжения на угол

. (7.5)

Векторная сумма токов I_mCиI_mdопределяет подводимый токI. Из векторной диаграммы очевидно, что

I ²_m = I ²_mC + I ²_md – 2I_mC I_md соs(90 – ) = I ²_mC + I ²_m – 2 I_mC I_md sin . (7.6)

Перейдем к действующим значениям тока:

I ² = I ²_C + I ²_d – 2I_C I_d sin , (7.7)

Токи I_CиI_dнайдем, применив закон Ома к каждому участку отдельно:

I_C = UC, ,  = 2f. (7.8)

Расчеты дают: sin = 0,8832; I_C = 0,96 A, I_d = 0,562 A; I = 0,515 A.

Выполним проверку единиц измерения величин.

(7.9)

Пример 2.В цепь переменного тока (f= 50Гц) с действующим значением силы тока 10Авключены последовательно конденсатор емкостьюC= 18мкФ, активное сопротивлениеR₁= 10Оми дроссель индуктивностьюL= 0,6Гни активным сопротивлениемR₂= 109Ом. Определить действующее в цепи напряжение.

Дано: f= 50Гц;I= 10А;C= 1810^-6мкФ;R₁= 10Ом;L= 0,6Гн;R₂= 100Ом.

U– ?

Решение. Начертим схему включения приборов (рис. 7.6а) и построим векторную диаграмму напряжений (рис. 7.6б).

а	б

Рис. 7.6 Схема цепи переменного тока (а) и

векторная диаграмма соответствующая данной цепи (б).

При последовательном соединении через все элементы идет одинаковый ток, поэтому за основное направление возьмем вектор амплитуды тока I_m. Амплитуда напряжения на конденсатореU_mCотстает по фазе от тока на/2. Амплитуда напряжения на дросселеU_mdопережает по фазе ток на. Амплитуду напряжения на дросселе разложим на две составляющие: активнуюU'_md = U_md cos (колеблется в фазе с током) и реактивнуюU''_md = U_md sin (опережает ток по фазе на/2). Амплитуда напряжения на резистореU_mRсовпадает с амплитудой тока (колеблется в фазе с током). Амплитуда полного напряжения в цепи равна векторной сумме напряженийU'_md,U''_md,U_mCиU_mR.

Амплитуда напряжения, совпадающего по фазе с током:

U_1m = U_mR + U'_md = I_mR₁ + I_mR₂. (7.10)

Амплитуда напряжения, опережающего ток на /2:

U_2m=U''_md – U_mC,. (7.11)

Амплитуда полного напряжения

. (7.12)

Перейдем к действующим значениям напряжения и тока

,= 2f. (7.13)

Подставим численные данные

U = 220 В.

Выполним проверку единиц измерения величин.

(7.14)