Решение системы уравнений методом Гаусса

Пусть дана система уравнений. Запишем расширенную матрицу этой системы уравнений, которая состоит из элементов уравнений данной матрицы.

Наша задача: свести эту матрицу к ступенчатой, т.е. добиться того, чтобы в первой строке остались все четыре элемента, во второй строке - три, в третьей  - два.

Для обнуления элементов первого столбца работать будем с первой строкой, для обнуления элементов второго столбца - со второй строкой. Обнулять элементы третьего столбца нет необходимости.

Исходную матрицу можно изменять, меняя местами строки. Работать лучше с матрицей у которой первый элемент строк и столбцов равен одному.

Итак, начнем приводить матрицу к ступенчатому виду, используя метод Гаусса

1 шаг: Обнулить элементы первого столбца второй и третьей строки.

Для этого нам необходимо работать с первой строкой. В первой строке первого столбца стоит элемент 1. Найдем коэффициент, на который необходимо домножить эту единицу, чтобы при сложении с первым элементом второй строки в результате получился ноль. Т.е. необходимо определить на что надо домножить единицу, чтобы при сложении с числом 2 в результате получился ноль. Этим числом является (-2), т.к. 1*(-2)+2=0. Далее необходимо продолжить этот процесс до конца строки, т.е. каждый элемент первой строки домножить на (-2) и прибавить элемент второй строки:

(-1)*(-2)+1=3 (второй столбец) и 2*(-2)+0=-4 (третий столбец) и 5*(-2)+4=-6 (четвертый столбец).

Теперь обнулим первый элемент третьей строки.

Для этого нам необходимо опять работать с первой строкой. В первой строке первого столбца стоит элемент 1. Найдем коэффициент, на который необходимо домножить эту единицу, чтобы при сложении с первым элементом третьей строки в результате получился ноль. Т.е. необходимо определить на что надо домножить единицу, чтобы при сложении с числом 3 в результате получился ноль. Этим числом является (-3), т.к. 1*(-3)+3=0. Далее необходимо продолжить этот процесс до конца строки, т.е. каждый элемент первой строки домножить на (-3) и прибавить элемент третьей строки:

(-1)*(-3)+5=8 (второй столбец) и 2*(-3)+1=-5 (третий столбец) и 5*(-3)+16=1 (четвертый столбец).

2 шаг: Обнулить элемент второго столбца третьей строки.

Для этого нам необходимо работать со второй строкой. Во второй строке первого столбца стоит элемент 0, его мы пропускаем и переходим ко второму столбцу. Там элемент равен 3. Найдем коэффициент, на который необходимо домножить эту тройку, чтобы при сложении со вторым элементом третьей строки в результате получился ноль. Т.е. необходимо определить на что надо домножить 3, чтобы при сложении с числом 5 в результате получился ноль. Этим числом является дробь (-8/3), т.к. 3*(-8/3)+8=0. Далее необходимо продолжить этот процесс до конца строки, т.е. каждый элемент второй строки домножить на (-8/3) и прибавить элемент третьей строки:

-4 *(-8/3)-5=17/3 (третий столбец) и -6*(-8/3)+1=17 (четвертый столбец).

Итак, мы свели матрицу к ступенчатому виду.

3 шаг: Запишем  систему уравнений:

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных  x₁ , x₂ , ..., x_n :

Решением системы называется совокупность n значений неизвестных

x₁=x'₁ , x₂ =x'₂ , ..., x_n=x'_n ,

при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:

где A — матрица системы, b — правая часть, x — искомое решение, A_p — расширенная матрица системы:

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:

Матричный вид однородной системы: Ax=0.

Однородная система в с е г д а  с о в м е с т н а, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:

x₁=0 , x₂=0 , ..., x_n=0.

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называетсянетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

 

ПРИМЕР 1. Нетривиальная совместность однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей.

 

Применив к матрице системы алгоритм гауссова исключения, приведем матрицу системы к ступенчатому виду

Число r ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы называется рангом матрицы,обозначаем  r=rg(A)  или r=Rg(A).

Справедливо следующее утверждение.

Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.

 

ПРИМЕР 2. Нетривиальная совместность однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизестными.

 

Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением.  Доказано, что среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровно n-r линейно независимых решений.  Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называетсяфундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0  меньше числа неизвестных n и векторы e₁ , e₂ , ..., e_n-r  образуют ее фундаментальную систему решений (Ae_i =0, i=1,2, ..., n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде

x=c₁ e₁ + c₂ e₂ +  ... + c_n-r e_n-r ,

где c₁ , c₂ , ..., c_n-r — произвольные постоянные. Записанное выражение называется общим решением однородной системы.

Исследовать однородную систему   — значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы.

Исследуем однородную систему методом Гаусса.

Пусть

матрица исследуемой однородной системы, ранг которой r< n.

Такая матрица приводится Гауссовым исключением к ступенчатому виду

Соответствующая эквивалентная система имеет вид

Отсюда легко получить выражения для переменных x₁ , x₂ , ..., x_r через x_r+1 , x_r+2 , ..., x_n . Переменные  x₁ , x₂ , ..., x_r  называют базисными переменными, а переменные x_r+1 , x_r+2 , ..., x_n —свободными переменными.

Перенеся свободные переменные в правую часть, получим формулы

которые определяют общее решение системы.

Положим последовательно значения свободных переменных равными

и вычислим соответствующие значения базисных переменных. Полученные n-r решений линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений исследуемой однородной системы:

Формулы приведения

Функция / угол в рад.	π/2 – α	π/2 + α	π – α	π + α	3π/2 – α	3π/2 + α	2π – α	2π + α
sin	cos α	cos α	sin α	– sin α	– cos α	– cos α	– sin α	sin α
cos	sin α	– sin α	– cos α	– cos α	– sin α	sin α	cos α	cos α
tg	ctg α	– ctg α	– tg α	tg α	ctg α	– ctg α	– tg α	tg α
ctg	tg α	– tg α	– ctg α	ctg α	tg α	– tg α	– ctg α	ctg α
Функция / угол в °	90° – α	90° + α	180° – α	180° + α	270° – α	270° + α	360° – α	360° + α
Найти производную функции . Решение. Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем
Пример 2
Найти производную функции . Решение. Здесь мы имеем дело с композицией трех функций. Производная тангенса равна . Тогда
Пример 3
Определить производную функции . Решение. Применим формулы производной сложной функции и производной частного.
Пример 4
Продифференцировать функцию . Решение. Сначала найдем производную произведения:        Далее, по формуле производной сложной функции
Пример 5
Продифференцировать . Решение. Здесь мы опять имеем дело с "трехслойной" функцией. Поэтому дважды применяем формулу производной сложной функции. Получаем