Как понимать квантовую механику

4.11. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП

123

Мы можем получить и нестационарное уравнение Шредингера,¨ если

введем¨ функционал действия

S[ ψ(t)|, |ψ(t) ] = t1

ψ(t)|Hˆ |ψ(t) − ψ(t)|i¯h

∂

|ψ(t)

dt.

∂t

t0

В интегральном виде для того же стандартного гамильтониана

S[ψ (x), ψ(x)] =

¯h2

∂

ψ dx dt.

( ψ ) ( ψ) + U (x) ψ ψ − ψ i¯h

2m

∂t

Варьируя по ψ| и |ψ , получаем

(4.67)

|δψ(t) !dt.

δS = t1

δψ(t)|

Hˆ |ψ(t) − i¯h

∂

|ψ(t)

+

ψ(t)|Hˆ + i¯h

∂

ψ(t)|

∂t

∂t

t0

ур. Шредингера¨

сопр. ур. Шредингера¨

Таким образом, мы можем получить уравнение Шредингера¨ из действия, как уравнение теории поля в расширенном (с добавлением времени, как дополнительной координаты) конфигурационном пространстве.

4.11.2. Вариационный принцип и основное состояние

В некоторых случаях может быть удобно искать точную или приближенную¨ волновую функцию основного состояния, минимизируя среднюю энергию (4.65).

Мы можем искать минимум среди волновых функций ψ(λ) определенного¨ вида, параметризуемых конечным числом параметров λ, тогда задача становится задачей поиска минимума функции нескольких переменных. Если вид волновых функций, среди которых ищется минимум, удачно угадан, то полученная волновая функция может оказаться хорошим приближением к реальной волновой функции основного состояния:

				ˆ
E	0	≈	min	ψ(λ)|H|ψ(λ)	.
			λ	ψ(λ)|ψ(λ)

Также иногда может быть полезен тот факт, что средняя энергия по любому состоянию дает¨ оценку сверху на энергию основного состояния:

	ˆ
E0	ψ|H|ψ	.	(4.68)
	ψ|ψ

124

ГЛАВА 4

Например, чтобы доказать наличие отрицательных собственных значений, достаточно предъявить одно состояние (не обязательно собственное!), средняя энергия в котором отрицательна.

4.11.3. Вариационный принцип и возбужденные¨ состояния*

Точно так же как при поиске основного состояния, мы можем искать первое возбужденное¨ состояние и оценивать его энергию, если ограничим поиск минимума подпространством, ортогональным основному состоянию:

		ˆ
E1 =	min	ψ|H|ψ	.	(4.69)
	ψ =0, ψ0|ψ =0	ψ|ψ

Аналогично можно искать и последующие состояния:

		ˆ
En =	min	ψ|H|ψ	.	(4.70)
	ψ =0, ψk |ψ|k<n =0	ψ|ψ

Однако, если основное и последующие состояния определены не точно, то такой метод дает¨ дополнительные ошибки, за счет¨ того, что в результате подпространство, выделенное условием

	˜
	ψk|ψ|k<n = 0,
˜	собственные состояния, окажется не ортогонально
где ψk — приближенные¨

настоящим собственным состояниям ψk.

ГЛАВА 5

Принципы квантовой механики

5.1. Квантовая механика замкнутой системы

Эволюция замкнутой системы в квантовой механике (2.3.1 «Когда наблюдатель отвернулся . . . ») — самая простая для понимания часть теории. Здесь нет никаких непонятностей и вероятностей: эволюция системы одинаково хорошо предсказуема как вперед,¨ так и назад по времени.

Эволюция замкнутой системы — вращение пространства состояний. В отличие от привычного нам двумерного или трехмерного¨ вращения, вращение пространства состояний (которое, как правило, бесконечномерно) может быть задано как поворот в плоскости только для бесконечномалых времен¨ (на этом основана 7.4.2 «Теорема Халфина»). В общем случае (для независящего от времени гамильтониана) мы можем представить наше пространство состояний как сумму одномерных комплексных (т. е. двумерных вещественных) подпространств и в каждом таком пространстве эволюция будет описываться как обычное вращение в плоскости с определенной¨ угловой скоростью.

Эволюция замкнутой системы может рассматриваться как симметрия — сдвиг по времени, порождаемый оператором энергии (гамильтонианом). Далее в главе 11 «Симметрии-1 (теорема Нетер)»¨ мы проделаем похожие выкладки для сдвига по координате и оператора импульса.

5.1.1. Унитарная эволюция и сохранение вероятности

Когда квантовая система свободно эволюционирует, не подвергаясь внешним воздействиям, в момент времени t1 ее¨ состояние (волновая функция) ψ(t1) должно выражаться через состояние ψ(t0) в предшествующий момент времени t0. При этом суммарная вероятность должна сохраняться, т. е., вспоминая смысл скалярного квадрата волновой функции,

ψ(t0)|ψ(t0) = ψ(t1)|ψ(t1) = 1.

(5.1)

126 ГЛАВА 5

Предположим, что для свободной эволюции квантовой системы выполняется принцип суперпозиции, т. е. если χ(t0) = αψ(t0) + βϕ(t0), то χ(t1) = αψ(t1) + βϕ(t1) с теми же коэффициентами α и β. Это означает, что волновая функция, описывающая систему в момент времени t1, получается из волновой функции, описывающей систему в момент времени t0,

		ˆ
с помощью некоторого линейного оператора U (t1, t0), называемого опера-
тором эволюции:
ˆ	, t0)ψ(t0),	ˆ	, t0)ϕ(t0)	и т. д.
ψ(t1) = U (t1		ϕ(t1) = U (t1

Операторы эволюции должны образовывать семейство, удовлетворяющее следующим условиям:

ˆ	ˆ
U (t0	, t0) = 1,
ˆ	ˆ	ˆ	, t0), t2	t1 t0.
U (t2	, t1)U (t1	, t0) = U (t2
Условие (5.1) дает¨
ψ(t1)|ψ(t1) = ψ(t0)|Uˆ †(t1, t0)Uˆ (t1, t0)|ψ(t0) = 1.					(5.2)

Поскольку (5.2) должно выполняться для всякого состояния ψ(t0), это может быть записано как условие на оператор эволюции

Uˆ †(t1, t0)Uˆ (t1, t0) = 1ˆ.

(5.3)

Условие (5.3) очень похоже на условие унитарности, но это еще¨ не оно. Это условие необходимо для унитарности, но достаточно только в конечномерном случае1.

Чтобы получить для оператора эволюции унитарность для бесконечномерного пространства состояний, можно добавить одно из следующих дополнительных условий:

1 ˆ ˆ† ˆ ˆ

В бесконечномерном случае легко построить оператор A, для которого A A = 1, но

AAˆ ˆ†		ˆ	ˆ
		=1ˆ. Пусть состояния ψn, n = 0, 1, 2, . . . , образуют базис в пространстве состояний.

Определим оператор A условием A|ψn = |ψn+1 . Базисные матричные элементы оператора

ˆ	ˆ
A имеют вид Am,n	= ψm |A|ψn = δm,n+1. Ненулевые матричные элементы оператора
ˆ	†	ˆ
A† получаются комплексным сопряжением и транспонированием: An,m		= ψn|A†|ψm =
= δn+1,m = Am,n	. Это позволяет записать действие оператора Aˆ† на базисные векторы:

ˆ†| | ˆ†| ˆ† ˆ ˆ ˆ†

A ψn = ψn−1 , n = 1, 2, . . . , и A ψ0 = 0. Действуя операторами A A и AA на

ˆ† ˆ| |

базисные векторы, получаем A A ψn = ψn , как и полагается единичному оператору. Но

ˆ ˆ†| | ˆ ˆ† ˆ ˆ† ˆ − | |

AA ψn = ψn только для n = ,0тогда как AA ψ0 = 0, т. е. AA = 1 ψ0 ψ0 .

	5.1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ	127
•	ˆ
	Просто потребовать унитарности операторов U (t1, t0). Это условие
	самое сильное, даже избыточное, оно предполагает одновременно
	Uˆ †Uˆ = 1ˆ и Uˆ Uˆ † = 1ˆ. Но первое из этих условий уже было пред-
•	положено ранее.
	Потребовать дополнительно Uˆ Uˆ † = 1ˆ.
•
	Потребовать существования обратного оператора Uˆ −1. Тогда из ранее
	выведенного условия Uˆ †Uˆ = 1ˆ получаем Uˆ −1 = Uˆ †.

• Потребовать, чтобы любое конечное состояние в момент времени t1

ˆ

могло быть получено с помощью оператора U (t1, t0) из какого-то начального состояния в момент времени t0 (на самом деле это предыдущее условие, сформулированное другими словами).

•Потребовать, чтобы временная эволюция квантовой системы была обратима по времени.

Таким образом, мы можем сказать, что унитарность свободной эволюции квантовой системы следует из трех¨ фундаментальных положений квантовой теории: линейность, сохранение вероятности, обратимость времени. Унитарная эволюция при таком подходе оказывается более фундаментальным положением, чем уравнение Шредингера¨.

Обеспечив унитарность оператора эволюции при помощи одного из вышеперечисленных условий, мы можем отказаться от условия t1 t0 и на равных основаниях рассматривать эволюцию вперед¨ и назад по времени. Теперь

ˆ ˆ −1 ˆ †

U (t0, t1) = U (t1, t0) = U (t1, t0),

а условие
ˆ	ˆ	ˆ	, t0)
U (t2	, t1)U (t1	, t0) = U (t2

выполняется для любых моментов времени t0, t1, t2.

Для автономных систем, т. е. для систем, поведение которых не зависит от времени явно, мы можем произвольно сдвигать начальный и конечный моменты времени на одинаковую величину, т. е. оператор эволюции зависит

только от разности времен:¨
ˆ	ˆ	−t0 .
U (t1	, t0) = Ut1

Для таких систем операторы эволюции образуют однопараметрическую группу с параметром времени t. Для этой группы умножение/обращение/единица для операторов соответствуют сложению/изменению

128

ГЛАВА 5

знака/нулю параметра:

ˆ	ˆ	ˆ	+t2	,	(5.4)
Ut1 Ut2		= Ut1
	Uˆt−1 = Uˆ−t,				(5.5)
	ˆ	ˆ			(5.6)
	U0	= 1.

Для такой однопараметрической группы операторов эволюции мы можем брать как непрерывное время, t R, так и дискретное2 t/τ Z.

5.1.2. Унитарная эволюция матрицы плотности*

Эволюция замкнутой системы может быть описана на языке матрицы плотности. Согласно (4.59) матрица плотности может быть представлена

в виде

ρˆ = |ψk pk ψk|.

k

С учетом¨ того, что
|ψk(t1) = Uˆ (t1, t0)|ψk(t0) ,	ψk(t1)| = ψk(t0)|Uˆ †(t1, t0),

получаем

ˆ ˆ †

ρˆ(t1) = U (t1, t0)ρˆ(t0)U (t1, t0).

Это преобразование не нарушает требуемых свойств матрицы плотности,

в частности нормировка матрицы плотности сохраняется:
tr ρˆ(t1) = tr[Uˆ (t1	, t0)ρˆ(t0)Uˆ †(t1	, t0)] = tr[ρˆ(t0) Uˆ †(t1		, t0)Uˆ			(t1	, t0)] = tr ρˆ(t0).
					ˆ
				1

5.1.3. (Не)унитарная эволюция*****

На самом деле мы можем отказаться от условия обратимости квантовой эволюции и рассматривать квантовую эволюцию, ограничившись условием сохранения вероятности (5.3) (изометричность). Мы можем сделать это благодаря тому, что пространства состояний в разные моменты времени можно считать различными пространствами, не все состояния в которых имеют физический смысл.

2Дискретное время может быть полезно при численных квантовомеханических расчетах¨. При этом вместо того, чтобы переходить к разностному аналогу временного уравнения Шредингера¨ и следить за сохранением вероятности, более правильно стартовать с унитарной эволюции с дискретным временем, как с понятия более фундаментального.

5.1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

129

Рассмотрение пространства состояний в разные моменты времени как разных пространств естественно всегда, когда мы рассматриваем зависящую от времени замену базиса, связанную, например, со сдвигом нулевого уровня энергии, калибровочными преобразованиями или с переходом между представлениями Шредингера,¨ Гайзенберга и Дирака. Однако обычно пространства состояния в разные моменты времени связывают друг с другом с помощью унитарных отображений, мы же в данном разделе воспользуемся тем, что бесконечномерное пространство всегда может быть отображено один к одному на некоторое свое¨ подпространство.

Зафиксируем некоторый начальный момент времени t = 0 и будем считать, что при t = 0 все векторы пространства состояний H имеют физический смысл. В момент времени t физический смысл имеют только векторы, которые получаются из векторов в начальный момент времени с помощью

ˆ

оператора эволюции Ut, т. е. принадлежат к подпространству

ˆ	H0	= H.
Ht = UtH0

Однако такие подпространства в разные моменты времени изоморфны Ht H0, т. е. между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие

ˆtHt = H. A

ˆ

С помощью оператора At мы можем переписать нашу неунитарную эволюцию в эквивалентной унитарной форме, отбросив все нефизические сос-

˜

тояния. Новый оператор эволюции Ut уже унитарен

˜ ˆ ˆ

Ut = AtUt.

Ясно, что мы можем, используя этот прием,¨ не только сделать из любого изометричного оператора эволюции унитарный, но и из любого унитарного оператора изометричный, добавив в пространства состояний в разные моменты времени некоторое количество «нефизических» измерений.

Таким образом, мы можем рассматривать условие обратимости квантовой эволюции как чисто техническое условие, оставив вместо него более слабое и более физичное условие изометричности (сохранения вероятности). При рассмотрении эволюции замкнутой системы новый подход не позволяет получить каких-либо новых результатов, однако он может оказаться полезен для обобщений, описывающих процессы с незамкнутыми системами (например, измерения).

130

ГЛАВА 5

5.1.4. Уравнение Шредингера¨ и гамильтониан

Как уже было получено (или, по существу, постулировано) в предыдущем разделе, для замкнутой автономной системы мы можем записать

ˆ	(5.7)
ψ(t + τ ) = Uτ ψ(t).

Если время может меняться непрерывно, т. е. t R, то, предполагая непрерывность и дифференцируемость оператора эволюции по времени, мы можем продифференцировать уравнение (5.7) по τ и, устремив τ → 0, запи-

сать

ˆ

d

ψ(t) =

dUτ

ψ(t).

(5.8)

dt

dτ

τ =0

Шр¨едингера (или временн´ое

Полученное уравнение (5.8) и есть уравнение

ˆ

τ =0

уравнение

Шредингера)¨

. Входящий в него оператор

dUτ

принято запи-

dτ

Hˆ

сывать как

i¯h .

Оператор

ˆ

Hˆ = i¯h

dU

τ

(5.9)

dτ

τ =0

называется оператором Гамильтона, или гамильтонианом3.

Можно провести следующую аналогию с обычными поворотами:

• ˆτ — матрица поворота пространства состояний.

U

ˆ

• iH¯h — матрица угловой скорости.

Мы можем легко обобщить понятие гамильтониана и на случай неавтономных систем, эволюция которых зависит от времени. В этом случае мы получаем оператор Гамильтона явно зависящий от времени:

		ˆ
ψ(t + τ ) = U (t + τ, t)ψ(t),
d		ˆ				1
	dU (t + τ, t)				ψ(t) =		Hˆ (t)ψ(t),
dt ψ(t) =
			dτ			i¯h
				τ =0
ˆ		ˆ
	dU		(t + τ, t)		.
H(t) = i¯h
			dτ
					τ =0

3Как однажды сказал французский физик русско-еврейского происхождения Анатоль Абрагам: «Гамильтониан — армянская фамилия». Сходство усугубляется тем, что в англоязычной литературе слово «Hamiltonian» всегда пишется с большой буквы.

5.1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

131

Из унитарности оператора эволюции легко получить эрмитовость гамильтониана:

ˆ †(t + dt, t) =

U

ˆ

†

ˆ H

1 + dt i¯h + o(dt)

ˆ		Hˆ †
= 1	− dt		+ o(dt), (5.10)
		i¯h

Uˆ †(t + dt, t) = Uˆ −1(t + dt, t) =
	ˆ	+ o(dt)	−1		ˆ
= 1ˆ	H			= 1ˆ	H		Hˆ = Hˆ †.
	+ dt i¯h				− dt i¯h	+ o(dt)

Мы определили гамильтониан через оператор эволюции, но можно легко написать дифференциальное уравнение и начальное условие, для оператора эволюции, через гамильтониан:

d	ˆ		1	ˆ	ˆ		ˆ	ˆ
dt1	U (t1	, t0) =	i¯h	H(t1)U (t1		, t0),	U	(t0, t0) = 1.	(5.11)

Для случая автономной системы, когда гамильтониан не зависит от времени, получаем выражение оператора эволюции через операторную экспоненту

ˆ	ˆ		−	i	ˆ	−t0)
		−t0		¯h	H·(t1		(5.12)
U	(t1, t0) = Ut1		= e			.

Автономная эволюция (с не зависящим от времени гамильтонианом) — вращение пространства состояний с постоянной угловой скоростью.

Похожие экспоненты неоднократно встретятся нам в дальнейшем при рассмотрении различных симметрий. Как мы увидим ниже, оператор эволюции для автономной системы можно рассматривать как оператор симметрии сдвига по времени, а гамильтониан — как генератор этой симметрии.

Для многих простых систем квантовый гамильтониан может быть получен из классической функции Гамильтона (т. е. энергии, выраженной через координаты и импульсы) путем¨ «добавления шляпок», т. е. заменой классических координат и импульсов на соответствующие операторы. Обоснование такого соответствия приводится в разделе 5.2.7 «Скобка Пуассона и коммутатор*». Квантовые операторы координаты и импульса будут введены в разделе 11.3.2 «Обобщенный¨ импульс».

5.1.5. Уравнения Шредингера,¨ временные´ и стационарные

Временн´ое уравнение Шр¨едингера
ˆ	d	ψ(t)
Hψ(t) = i¯h dt

описывает временн´ую эволюцию волновой функции.

132

ГЛАВА 5

Стационарное уравнение Шр¨едингера имеет вид

ˆ

HψE = EψE .

Это просто уравнение на собственные функции и собственные числа для оператора Гамильтона.

Если подставить решение стационарного уравнения Шредингера¨ во временное, то получается

d	ˆ
i¯h dt	ψE (t) = HψE (t) = EψE (t),
	ψE (t) = e−	i	E·tψE (0).
		¯h

Временная эволюция стационарного состояния сводится к вращению с угловой скоростью ωE = E¯h фазового множителя e− h¯i E·t.

Все средние для стационарного состояния имеют вид

		ˆ			−	i	E·t	ˆ	−	i	E·t
						¯h				¯h
A t = ψE (t)|A|ψE			(t) = e					ψE (0)|A|e			ψE (0) =
+	i	E·t ˆ	−	i	E·t				ˆ
	¯h			¯h
= ψE (0)|e		Ae			|ψE (0) = ψE (0)|A|ψE (0) = A 0.

Таким образом, среднее от любого оператора по стационарному состоянию не зависит от времени. Это и дает¨ основание называть такое состояние стационарным. При этом следует иметь в виду, что состояние остается¨ неизменным только до тех пор, пока над ним не совершаются измерения, или другие внешние возмущения4. Если мы переопределим гамильтониан, введя

Hˆ = Hˆ + E01ˆ,

(5.13)

ˆ

то для нового гамильтониана H стационарные состояния останутся стационарными, но их уровни энергии сдвинутся на E0. Таким образом мы можем сдвинуть любой уровень энергии в нуль, после чего соответствующее стационарное состояние перестанет зависеть от времени. Такое переопределение гамильтониана не изменит средних значений и матричных элементов каких бы то ни было физических величин. Это означает, что нулевой

4Если мы попробуем измерить в стационарном состоянии физическую величину, отвечающую какому-то оператору, чье¨ значение в данном состоянии не определено (другими словами, если измеряемая величина не сохраняется в данной системе), то это измерение может с разными вероятностями дать разные значения величины, кроме того, при этом оно изменит состояние так, что оно перестанет быть стационарным, и тогда следующее измерение той же величины спустя некоторое время может дать уже другое значение.