Как понимать квантовую механику

5.3. ИЗМЕРЕНИЕ

153

Здесь μ(dx) = M (x + dx) − M (x) — мера. Мера конечного полуинтервала имеет вид μ((a, b]) = M (b) −M (a). Для гладкой монотонно-возрастающей

функции M интеграл по мере сводится к обычному интегралу:

f (x) μ(dx) = f (x) M (x) dx,

для гладкой функции M мера любой точки равно нулю.

Однако, если монотонно-возрастающая кусочно-гладкая функция M имеет скачки, то мера точки скачка отлична от нуля μ({a}) = M (a+) − − M (a−). Интеграл по мере теперь состоит из двух членов: обычного интеграла и взвешенной суммы по точкам скачков xk

	f (x) μ(dx) =	f (x) M (x) dx +		f (xk) μ({xk}).
			xk

Такого рода интегралы нам уже встречались, когда мы рассматривали операторы, имеющие как дискретный спектр, так и непрерывный спектр.

Аналогично мы можем определить проекторнозначную меру с помо-

	ˆ
щью монотонно-возрастающей проекторнозначной функции P (α).
Монотонность проекторнозначной функции означает, что с ростом α
растет¨	ˆ
	подпространство, на которое проецирует проектор: P (α)H

ˆ
P (β)H, если α > β. Это свойство удобно записать так:
ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ
P (α)P (β) = P (β)P (α) = P (min(α, β)).

	ˆ
Как и функция M , функция P может испытывать скачки в точках, отвечаю-
щих дискретному спектру:
ˆ	ˆ	ˆ

P ({αk}) = P (αk+) − P (αk−) =.0

Интеграл по проекторнозначной мере позволяет представить эрмитов оператор в виде интеграла, который сводится и интегралу по непрерывному спектру и сумме по дискретному:

Aˆ = α(k) PˆA(dk) =
		α |ϕα ϕα| dα + α W α |ϕα ϕα|.
	α U

ˆ

Проекторнозначная мера PA (индекс A показывает, с каким эрмитовым оператором эта мера связана) позволяет рассматривать единым образом дискретный и непрерывный спектры. При этом все рассматриваемые операторы являются эрмитовыми операторами на H и нам нет необходимости обращаться к оснащенному¨ гильбертовому пространству.

154

ГЛАВА 5

5.3.2. Селективное и неселективное измерение*

Выше мы уже упоминали, что квантовое измерение происходит вне зависимости от того, смотрит ли наблюдатель на стрелку прибора и есть вообще ли у прибора стрелка (2.3.2 «На наших глазах . . . »).

В разделе 5.3.1 «Проекционный постулат» мы предполагали, что результат измерения известен, и сохраняли в волновой функции или матрице плотности только ту часть, которая соответствует случившемуся результату измерения. Это селективное измерение.

Неселективное измерение не дает¨ наблюдателю информации о том, чему равна измеряемая величина. Наблюдатель лишь знает чему равна вероятность того или иного исхода. Для каждого конкретного исхода он мог бы задать волновую функцию, но он не знает какой именно исход состоялся.

Любое измерение до того, как оно проведено, или до того, как до нас дошла информация об исходе измерения, следует рассматривать как неселективное.

Состояние после неселективного измерения в случае общего положения описывается не волновой функцией, а матрицей плотности, даже если первоначальное состояние было чистым.

При известном исходе измерения k (селективное измерение) нормированная на вероятность матрица плотности после измерения выражается как

ˆ ˆ H H

ρˆk = PkρˆдоPk k k, tr ρˆk = pk.

При неизвестном исходе измерения (неселективное измерение) нам надо просуммировать матрицы плотности по всем возможным исходам:

ρˆн. с. =	ˆ ˆ	tr ρˆн. с. = 1.	(5.40)
	PkρˆдоPk,

k

Веса, соответствующие вероятностям исходов, здесь не нужны, т. к. ρˆk нормированы на вероятности.

Если матрица плотности записана в базисе собственных векторов измеряемой величины, то после неселективного измерения матрица становится блочно-диагональной — все диагональные блоки, отвечающие определенному¨ k, сохраняются, все недиагональные блоки обнуляются.

Матрица до измерения:

ˆ ˆ	ˆ	ρˆ	ˆ
ρˆ = 1ρˆ1 =	Pk		Pk

ˆˆ

=PkρˆPk .

k

k

k,k

5.3. ИЗМЕРЕНИЕ				155
Недиагональные слагаемые
PˆkρˆPˆk ,	k		=k ,

после измерения обнуляются и из двойной суммы остается¨ сумма диагональных элементов (5.40). Можно сказать, что неселективное измерение обнуляет члены, связанные квантовой интерференцией, но не трогает членов, связанных с классическими вероятностями.

(ф) Состояние системы после селективного измерения в принципе не предсказуемо (можно предсказать лишь вероятности исходов). Состояние системы после неселективного измерения, заданное как матрица плотности, предсказуемо заранее, оно содержит все возможные результаты измерений.

(фф*) В литературе при обсуждении процедуры измерения много путаницы между селективным и неселективным измерением. В частности, вопрос о природе выбора системой того или иного исхода измерения (т. е. вопрос о квантовых вероятностях, имеющий смысл только для селективного измерения) часто (почти всегда) подменяется выводом в том или ином приближении формулы (5.40) для неселективного измерения.

5.3.3. Приготовление состояния

Процедура измерения превращает состояние системы в собственное для некоторого эрмитового оператора (наблюдаемой). Формально мы мо-

ˆ

жем придумать эрмитов оператор Pφ, для которого собственным состоянием будет любое наперед¨ заданное состояние |φ , причем¨ данное состояние будет невырожденным, например:

ˆφ = |φ φ|. P

ˆ

При измерении наблюдаемой Pφ мы получаем одно из двух значений: либо 0, либо 1 (мы считаем, φ = 1). В последнем случае система попадает в состояние |φ .

Таким образом, имея исходную систему в произвольном состоянии и измеряя некоторую, специально подобранную физическую величину, мы при благоприятном исходе измерения помещаем систему в нужное нам состояние.

Описанная процедура измерения с последующим отбором называется

приготовлением состояния.

Например, мы можем приготовить фотоны в состоянии с определенной¨ линейной поляризацией, пропустив их через поляризатор. Часть

156

ГЛАВА 5

фотонов при этом окажется забракованной (поглотится или отразится, в зависимости от устройства поляризатора).

Разумеется, приготовление состояния срабатывает не всегда, а с вероятностью |ψ|φ|2, которая в случае общего положения отлична от нуля.

Не всегда удается¨ придумать физический эксперимент, измеряющий искусственно сконструированную наблюдаемую. В некоторых случаях такой эксперимент может оказаться запрещен¨ законами сохранения.

ГЛАВА 6

Одномерные квантовые системы

Случай одномерного движения квантовой частицы является одним из самых простых в квантовой механике1. Кроме того, одномерные задачи часто возникают в процессе решения более сложных задач при разделении переменных. Наличие для одномерного случая удобных свойств и интересных теорем окончательно убеждает в необходимости посвятить одномерию отдельную главу.

На протяжении этой главы мы будем исследовать гамильтониан для частицы в потенциале U (x), который может быть записан так:

ˆ	pˆ2		ˆ	¯h2		∂2
H =	2m	+ U (ˆx),	H = −	2m		∂x2	+ U (x).	(6.1)

6.1. Структура спектра

6.1.1. Откуда берется¨ спектр?

Соответствующее гамильтониану (6.1) стационарное уравнение Шре¨- дингера имеет вид

−	¯h2	ψ (x)+U (x) ψ(x) = E ψ		ψ (x)+	2m	(E	−	U (x)) ψ(x) = 0. (6.2)
	2m				2
					¯h

Задача нахождения спектра этого уравнения в математике называется задачей Штурма – Лиувилля. Она была заранее2 исследована Жозефом Лиувиллем и Шарлем Штурмом еще¨ в XIX веке (1837–1841 гг.).

Потенциал U (x) мы будем считать непрерывным или кусочно-непре- рывным.

1Одномерное движение — не самый простой случай. Пространство состояний для такой системы L2(R) бесконечномерно и изоморфно любому другому бесконечномерному сепарабельному гильбертову пространству. Самое маленькое пространство состояний квантовой системы — C2 соответствует спину 12 , или любой другой двухуровневой системе.

2Заранее, с точки зрения квантовой теории.

158

Рис. 6.1. Шарль Франсуа Штурм (1803–1855). W

ГЛАВА 6

При каждом значении E это линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых решения. Однако физический смысл стационарных состояний имеют только те решения, которые можно отнормировать на 1 (дискретный спектр), либо на δ-функцию (непрерывный спектр).

Таким образом, мы обнаруживаем, что при данном конкретном значении E из двумерного пространства решений физический смысл имеет только некоторое подпростран-

ства размерности 2, 1, или 0 (в последнем случае нетривиальных решений нет совсем).

Обычно условие нормируемости (на δ-функцию или на 1) можно заменить условием ограниченности.

6.1.2. Вещественность собственных функций

Поскольку функция U (x) вещественна, для всякого решения ψ(x) дифференциального уравнения (6.2) (как и аналогичного уравнения в пространстве любой размерности!) функции

	ψ (x), Re ψ(x) =	ψ(x) + ψ (x)	, Im ψ(x) =	ψ(x) − ψ (x)
		2		2i

также являются решениями. Причем¨ из ограниченности, или нормируемости ψ(x) следует ограниченность или нормируемость для тех функций из набора ψ , Re ψ и Im ψ, которые не равны тождественно нулю. Благодаря этому при исследовании спектра мы можем ограничиться вещественными решениями.

6.1.3. Структура спектра и асимптотика потенциала

Пусть потенциал U (x) имеет пределы на обоих бесконечностях:

U	= lim U (x),	U	=	lim U (x).
−	x	+	x	+
	→−∞			→ ∞

Также нам может понадобиться значение потенциала в нижней и верхней точках:

U0 = min U (x),	U1 = max U (x).
x R	x R

6.1. СТРУКТУРА СПЕКТРА

159

Пусть, для определености,¨ U− U+, тогда эти четыре точки расположены на шкале энергий в следующем порядке:

U0 U− U+ U1.

При x → ±∞ уравнение Шредингера¨ стремится к виду

ψ (x) +	2m	(E	−	U ) ψ(x) = 0.	(6.3)
	2
	¯h			±

Его решение задается¨ волнами де Бройля при E > U±, или вещественными экспонентами при E < U±:

e±		, k = ¯h		;	e±		, κ = ¯h		.
			2m(E − U±)					2m(U± − E)
	ikx	1				κx	1

Обе волны де Бройля ограничены, хотя и квадратично не интегрируемы. Это означает, что при E > U− мы не сможем отнормировать волновую функцию на 1, а значит в этом диапазоне не может быть состояний дискретного спектра.

При E U+ асимптотики на обоих бесконечностях всегда ограничены, с какими бы коэффициентами мы не комбинировали волны де Бройля. Это означает, что в этом диапазоне энергий все значения E принадлежат к непрерывному спектру, являются двухкратно вырожденными.

При U+ > E > U− на +∞ мы вместо волн де Бройля получаем вещественные экспоненты. Из этих двух асимптотик только одна e−κx ограничена, а другая e+κx неограниченно возрастает. Таким образом на асимптотику

на +∞

ψ(x) c− e−κx + c+ e+κx, x → +∞,

накладывается одно условие: c+ = 0. Это условие выделяет из двумерного пространства решений уравнения (6.2) одномерное подпространство. На −∞ по прежнему любое решение ограничено, но не квадратично интегрируемо. Таким образом, в диапазоне U+ > E > U− все значения энергии принадлежат к непрерывному невырожденному спектру.

При E < U− мы имеем на обоих бесконечностях экспоненциальные

асимптотики:

ψ(x) c− e−κx + c+ e+κx, x → +∞; ψ(x) d− e−κx + d+ e+κx, x → −∞.

Условие ограниченности теперь дает¨ два граничных условия:

c+ = 0, d− = 0.

160	ГЛАВА 6
	Рис. 6.2. Структура спектра в одномерном случае.

Если эти два условия линейно независимы, то в двумерном пространстве решений уравнения (6.2) не остается¨ ненулевых ограниченных решений. Если эти два условия окажутся линейно зависимыми, то останется одно линейно независимое ограниченное решение. И если при конечных x не будет разрывов ψ, около которых интеграл от |ψ|2 расходится, то состояние окажется принадлежащим к дискретному спектру. Поскольку в состояниях дискретного спектра вероятность обнаружить частицы на больших расстояниях от классически разрешенной¨ области экспоненциально спадает с расстоянием, мы будем также называть такие состояния связанными.

В случае общего положения условия c+ = 0, d− = 0 должны быть линейно независимыми, так что почти все значения E < U− не являются собственными. Есть ли среди них хотя бы одно собственное значение (разумеется дискретное)?

При E U0 ограниченных собственных функций нет. Если выбрать вещественную волновую функцию (возможность этого была доказаны выше, 6.1.2 «Вещественность собственных функций»), то окажется, что ψ и ψ везде имеют одинаковый знак:

ψ (x) = 2m (U± − E) ψ(x).

¯h2

0

Если на ψ(x → −∞) > 0 (этого всегда можно добиться умножением на число), то при x → −∞ получаем ψ > 0, ψ > 0 (из единственной разрешенной¨ асимптотики eκx) и ψ > 0. При этом, если волновая функция не терпит разрывов, то она должна монотонно возрастать на всей оси. Таким

6.1. СТРУКТУРА СПЕКТРА

161

образом, при x → +∞ мы также получаем ψ > 0 и ψ > 0. Однако это не совместимо с асимптотикой e−κx (единственной разрешенной¨ на +∞).

В диапазоне U− > E > U0 при разных потенциалах дискретные уровни энергии могут как присутствовать, так и отсутствовать.

С помощью правила Бора – Зоммерфельда (см. ниже 13.5.4 «Квазиклассическое квантование») общее число дискретных уровней можно оценить следующим интегралом, который также можно считать мерой глубины ямы:

N =	1
				2m(U− − U (x)) dx > 0.		(6.4)
	π¯h
		U(x)<U−

Таким образом, достаточно глубокая яма любой формы должна содержать дискретные уровни.

Задачу определения наличия уровней в мелкой яме мы рассмотрим отдельно, а пока дадим без вывода результат. При условии

U1 = U+ = U− > U0

(6.5)

всегда существует хотя бы один дискретный уровень.

Также забегая вперед,¨ отметим, что существование дискретного уровня в мелкой яме является особенностью одномерной задачи.

6.1.4. Прямоугольная яма

Рассмотрим потенциал прямоугольной потенциальной ямы ширины a

и глубины V :
U (x) = &	0,	x	a		,
		|x|		2		(6.6)
	V,		<	a	.
	−	| |		2

Все неотрицательные значения энергии относятся к непрерывному спектру. Нас интересуют дискретные уровни энергии, которые могут лежать в диапазоне 0 > E > −V .

Потенциал прямоугольной ямы задается¨ четной¨ функцией U (x) = = U (−x), отсюда следует, что гамильтониан коммутирует с оператором

ˆ ˆ − ˆ ˆ ˆ ˆ

пространственной инверсии I (Iψ(x) = ψ( x)), т. е. HI = IH. Для такого гамильтониана мы можем выбрать собственные состояния так, чтобы они

ˆ

были также собственными для оператора I (см. 4.2 «Матрицы (л)»), т. е. чтобы все они были четными¨ или нечетными¨.

Стационарные состояния, не являющиеся состояниями с определенной¨ четностью,¨ возможны только в непрерывном вырожденном спектре

162

ГЛАВА 6

при E > 0. При E < 0 спектр невырожден, и каждое состояние либо четно,¨ либо нечетно¨.

Рассматриваемый потенциал кусочно постоянен. В пределах каждого куска уравнение Шредингера¨ дает¨ решение в виде волн де Бройля (если

E> U (x)) или вещественных экспонент (если E < U (x)).

Вточках разрыва потенциала нам надо поставить условия склейки волновой функции. Причем,¨ поскольку одномерное уравнение Шредингера¨ является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, достаточно потребовать непрерывности самой функции ψ и ее¨ первой производной:

ψ( a2 + 0) = ψ( a2	− 0),	ψ ( a2 + 0) = ψ ( a2 − 0);
ψ(−a2 + 0) = ψ(−a2 − 0),		ψ (−a2 + 0) = ψ (−a2 − 0).

Впрочем, из четырех¨ условий сшивки можно ограничиться двумя (например, в точке a2 ), если сразу искать решения с определенной¨ четностью¨.

Будем параллельно рассматривать четный¨ и нечетный¨ случаи, помечая их индексами «+» и «−» соответственно.

Поскольку нас интересуют в первую очередь собственные числа, нормировочные множители выбираем так, чтобы не загромождать вычисления.

Справа от ямы волновая функция может быть выбрана в виде

ψ±(x) = e−κ±(x−a/2), ψ (x) = −κ± e−κ±(x−a/2),

		1				a
	κ± =		−2mE±, x
		¯h				2 .

На границе ямы получаем

ψ±(a/2 + 0) = 1, ψ±(a/2 + 0) = −κ±.

Волновую функцию слева от ямы можно восстановить из четности¨ и отдельно ее¨ исследовать нет необходимости:

			a
ψ±(x) = ±ψ±(−x), x −2 .
Внутри ямы волновая функция задается¨ четной¨ или нечетной¨ комби-
нацией волн де Бройля, т. е. косинусом или синусом:
ψ+(x) = A+ cos(k+x),		ψ−(x) = A− sin(k−x),
1			a		a
k± = ¯h 2m(E±		+ V ), x [−2		,	2 ],