metods_books_fnp2011

Задача 3. Найти полный дифференциал функции z arctg xy .

Задача 4. Вычислить 3 1,02 2 0,03 2 приближенно с помощью полного дифференциала.

Задача 5. Найти производную dy от неявной функции, заданной dx

уравнением y 1 ey ex 1.

Задача 6. Найти частные производные z , z от неявной функ-

x y

ции, заданной уравнением

cos2 x ycos zx 1.

Задача 7. Вычислить производную сложной функции:

	z	x 2 y	, где	x tg(t2 1),	y ctg(t4 1) ;	dz	?
		xy				dt

Задача 8. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности x 2y ln z 4 0 в точке M0 2, 3, 1 .

Задача 9. Найти производную функции z x3 xy2 2x2 y 4 в точке A 2, 2 по направлению к точке B 4, 5 .

Задача 10.					Исследовать функцию z 1 sin x sin y sin x y
	0	x		, 0 y
							на экстремум.
			2			2

71

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z x3 3xy y3 2 в заданной области:	2 x 2,
2 y 2.

Вариант 29

Задача 1. Найти и изобразить на плоскости Oxy область опреде-

			1 .
	ления функции z	x2 y2
			x
	Задача 2. Найти частные производные			z	,	z	от функции
				x		y

z 2x3 arccos4y .

Задача 3. Найти полный дифференциал функции z x2 y2 . x2 y2

Задача 4. Вычислить 1,004 30,097 приближенно с помощью полного дифференциала.

Задача 5. Найти производную dy от неявной функции, заданной dx

уравнением

arctg

x y

y

0.

a

2a

Задача 6. Найти частные производные

z

,

z

от неявной функ-

y

x

ции, заданной уравнением

z

ln

z

0.

x

y

2

Задача 7. Вычислить производную сложной функции:

z arccos(xy2),	где x t2 ln t ,	y t et ;	dz ?
			dt

72

Задача 8. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности z x2 2xy y2 x 2y в точке M0 1, 1, 1 .

Задача 9. Найти направление наиболее быстрого возрастания функции z 9x2 y2 2 в точке A 1, 4 . Какова скорость изменения функции в этом направлении?

Задача 10. Исследовать функцию z x3 3xy2 15x 12y 4 на экстремум.

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z y2 x2 4x в ограниченной замкнутой области, ограничен-

ной линиями: x 0, x 4 y2 .

Вариант 30

Задача 1. Найти и изобразить на плоскости Oxy область опреде-

	ления функции z arcsin	y 2	.
		x
	Задача 2. Найти частные производные			z	,	z	от функции
				x		y

z arctg x y .

1 xy

Задача 3. Найти полный дифференциал функции

z 4x2 3sin y .

Задача 4. Вычислить 1,003 2,07 приближенно с помощью полного дифференциала.

73

Задача 5.	Найти производную dy	от неявной функции, заданной
	dx
уравнением
	xey yex exy 0.
Задача 6.	Найти частные производные				z	,	z	от неявной функ-
							y
					x
ции, заданной уравнением
	sin x		z	.
	sin z		y

Задача 7. Вычислить производную сложной функции:

	z x2 ln y , где	x u	,	y 3u 2v ;	z	,	z	?
					u		v
		v

Задача 8. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности x2z zy2 4 в точке M0 2, 0, 1 .

Задача 9. Найти производную функции

zx2 xy 2y2 3

вточке A 1, 1 по направлению к точке B 1 3, 2 .

Задача 10. Исследовать функцию z 3x2 2x	y y 8x 5
на экстремум.

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z 2x2 2xy x 2y 2 в заданной ограниченной замкнутой

области: 0 x 3,

0 y 3 x.

74

Вариант 31

Задача 1. Найти и изобразить на плоскости Oxy область опреде-

	ления функции z log	y	(x2	y2 9).
	Задача 2. Найти частные производные				z	,	z	от функции
					x		y

z ex y x cos y y sin x .

Задача 3. Найти полный дифференциал функции

z ln(x x2 8y3 ).

Задача 4. Вычислить 0,997 2 1,008 3 3 приближенно с помощью полного дифференциала.

Задача 5. Найти производную dydx от неявной функции, заданной уравнением

x2 y2 ln(x2 y2) a2 0.

Задача 6. Найти частные производные z , z от неявной функ-

x y

ции, заданной уравнением

x3 y3 z3 3xyz 0 .

Задача 7. Вычислить производную сложной функции:

z		x y	,		где x tg(et 1),	y ctg	t	;	dz ?
		x y
							2		dt

75

Задача 8. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности z arctg xy в точке M0 1, 1, 4 .

Задача 9. Найти направление наиболее быстрого возрастания функции z x2 y2 5 в точке A 4, 3 . Какова скорость изменения функции в этом направлении?

Задача 10. Исследовать функцию z x3y2 6 x y	(x 0,
y 0) на экстремум.

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x2 xy y2 в ограниченной замкнутой области, ограниченной линиями: x 1, x 1, y 1, y 2.

Вариант 32

Задача 1. Найти и изобразить на плоскости Oxy область опреде-

ления функции z arcsin x y

9 x2 y2 .

Задача 2. Найти частные производные

z

,

z

от функции

x

y

z xy 1

x2

y2

.

a

2

b

2

Задача 3. Найти полный дифференциал функции z x yx .

Задача 4. Вычислить 2,007 2 1,012 3 приближенно с помощью полного дифференциала.

76

Задача 5. Найти производную dy от неявной функции, заданной

dx

уравнением y cos x y 0.

Задача 6. Найти частные производные

z

,

z

от неявной функ-

x

y

ции, заданной уравнением x z ln

z

.

y

Задача 7. Вычислить производную сложной функции:

y

z

,

dz ?

z arcsin

, где

y 3 1 x ;

x

x

dx

Задача 8. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности xy z2 в точке M0 1, 4, 2 .

Задача 9. Найти производную функции z ln x y в точке

A 1, 2 по направлению к точке B 3, 4 .

z 4x

Задача 10. Исследовать функцию

3

на экстремум.

y 47 x y 2xy

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x 1 2 y 2 2 в ограниченной замкнутой области, огра-

ниченной линиями: x 0,

y 0 ,

2x y 6.

Вариант 33

Задача 1. Найти и изобразить на плоскости Oxy область опреде-

ления функции z x . sin y

77

Задача 2. Найти частные производные					z	,	z	от функции
					x		y
z		x		.

x2 y3

Задача 3. Найти полный дифференциал функции z tg y2 . x

Задача 4. Вычислить 2,995 2 4,005 2 приближенно с помощью полного дифференциала.

Задача 5. Найти производную		dy от неявной функции, заданной
		dx
уравнением x y ex y 0.
Задача 6. Найти частные производные			z	,		z	от неявной функ-
			x			y
ции, заданной уравнением arctg yz xz .
Задача 7. Вычислить производную сложной функции:
u xy , где	x t2 1,	y ln t ,			z et ;			du ?
z								dt

Задача 8. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности z yx 2xy2 x2 y в точке M0 1, 2, 8 .

Задача 9. Найти направление наиболее быстрого возрастания функции z x2 5y 3 в точке A 5, 4 . Какова скорость изменения функции в этом направлении?

78

Задача	10. Исследовать функцию z x4 y4 x2 2xy y2
на экстремум.
Задача	11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z x2 2y2 2x 1 в ограниченной замкнутой области, ограниченной линиями: x 0, y x 2 0, y x 2 0.

Вариант 34

Задача 1. Найти и изобразить на плоскости Oxy область определения функции z sin x cos y .

	Задача 2. Найти частные производные	z	,	z	от функции
		x		y

z x ctg 3x y 1 .

Задача 3. Найти полный дифференциал функции

z	x2	y2		.
	x2
		y2
Задача 4. Вычислить 1,03 2
		0,98 приближенно с помощью
полного дифференциала.
Задача 5. Найти производную	dy от неявной функции, заданной
	dx

уравнением

x2 y sin xy exy 0.

79

Задача 6. Найти частные производные z , z от неявной функ-

x y

ции, заданной уравнением

z ln x z xyz .

Задача 7. Вычислить производную сложной функции:

					dz ?
z	2x2 3y2 , где		x sin t ,	y cos 2t ;
					dt

Задача 8. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности x2 y2 (z 5)2 0 в точке M0 4, 3, 0 .

Задача 9. Найти производную функции

z3x4 2xy3 4

вточке A 1, 2 по направлению к точке B 4, 2 .

Задача 10. Исследовать функцию z x y x2 y 6x 3 на экстремум.

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z ln(x2 y2) в ограниченной замкнутой области, ограничен-

ной линиями: x 1
	,	x 1,	y 0 ,	y x .
4

Вариант 35

Задача 1. Найти и изобразить на плоскости Oxy область опреде-

ления функции z arccos yx2 arcsin(1 y2).

80