Расчетно
.docРасчетно-графическая работа 1.
Кинематика поступательного движения
Вариант 1.1.14
Формулировка задания
По одной прямой, совпадающей с осью Ox декартовой системы координат, движутся две материальные точки.
Координата при движении первой точки изменяется по закону , а проекция ускорения второй точки изменяется согласно уравнению . В начальный момент времени вторая точка имела координату и скорость .
Размерности коэффициентов:
[A] = м, [B] = м/с, [C] = м/с2, [D] = м/с3,
[ ] = м/с2 , [ ] = м/с3, [ ] = м, [ ] = м/с.
Определите скорость первой точки в момент времени, когда вторая остановится.
Значения параметров:
|
|
|
|
A |
B |
C |
D |
0 |
2 |
5 |
-4 |
5 |
2 |
-2 |
1 |
Теоретические основы работы:
В данной расчетно-графической работе рассматривается кинематика поступательного движения материальной точки.
Материальная точка – это тело, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с масштабами движения.
Механическим движением тела (материальной точки) называется изменение его положения в пространстве с течением времени относительно других тел.
Поступательное движение – это одна из разновидностей механического движения, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается при его движении параллельной своему первоначальному положению. При этом все точки прямой имеют одинаковые скорости и ускорения.
У каждой движущейся материальной точки есть траектория – линия, образованная совокупностью последовательных положений в пространстве, занимаемых точкой в процессе ее движения. В данной расчетно-графической работе рассматривается прямолинейное движение, траекторией которого является прямая линия.
По характеру изменения скорости и ускорения движение может быть равномерным и неравномерным (равнопеременным и переменным). В свою очередь, равнопеременное движение может быть равноускоренным и равнозамедленным.
Пространственное положение и движение материальной точки можно задать с помощью декартовой системы координат.
Кинематическое уравнение движения материальной точки
(1)
Представление радиус-вектора в декартовой системе координат
(2)
где – единичные векторы вдоль координатных осей x, y, z
Вектор перемещения
(3)
Вектор мгновенной скорости
(4)
Модуль мгновенной скорости
(5)
Путь, пройденный материальной точкой
(6)
Вектор и модуль скорости в декартовой системе координат
, (7)
Проекции скорости
, , , (8)
Вектор мгновенного ускорения
или (9)
Проекции ускорения, выраженные через проекции скорости
, , , (10)
Проекции ускорения, выраженные через координаты (проекции радиус-вектора)
, , , (11)
Вектор и модуль ускорения в декартовой системе координат
, (12)
Средняя скорость перемещения
(13)
Модуль средней путевой скорости
(14)
где - путь, пройденный за время
Решение задачи:
Дано:
A = 5 м B = 2 м/с C = -2 м/с D = 1 м/с3 = 0 м/с2 = 2 м/с3 = 5 м = -4 м/с
Найти: в момент, когда |
Решение:
Но так как точка движется вдоль Ox, то уравнение примет вид: (15) (16)
Но так как точка также движется вдоль оси Ox, то уравнение примет вид: (17) Выразим : (18) Чтобы найти , проинтегрируем обе части выражения, предварительно подставив.
Но так как по условию , то (19)
,
Найдем, при каком t , для этого решим квадратное уравнение
Но время не может быть отрицательным, поэтому
, , , .
|
Ответ: в момент времени, когда вторая точка остановилась (,), первая точка имела скорость равную 6 м/с.