- •Задание №7. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •Задание №8. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •Задание №9. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа
- •Задание №10. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ЭКОНОМЕТРИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
(Часть 2. Линейные операторы. Квадратичные формы)
Направление 080100
«Экономика»
Очная форма обучения
Рязань 2012
Задание №6. Линейные операторы
1) Доказать, что соответствие (см. табл. 1), переводящее вектор в вектор , является линейным оператором. Найти матрицу этого оператора в стандартном базисе линейного пространства .
2) Описать структуру линейного оператора (образ, ранг, ядро, дефект, найти базисы образа и ядра оператора).
3) Найти матрицу оператора в новом базисе . Проверить выполнимость равенства определителей матриц оператора в разных базисах.
Таблица 1
Вар |
Соответствие , базис |
1 |
,
|
2 |
,
|
3 |
,
|
4 |
,
|
5 |
,
|
6 |
,
|
7 |
,
|
8 |
,
|
9 |
,
|
10 |
,
|
11 |
,
|
12 |
,
|
13 |
,
|
14 |
,
|
15 |
,
|
16 |
,
|
17 |
,
|
18 |
,
|
19 |
,
|
20 |
,
|
21 |
, |
22 |
, |
23 |
, |
24 |
, |
25 |
, |
26 |
, |
27 |
, |
28 |
, |
29 |
, |
30 |
, |
Задание №7. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей в некотором базисе линейного пространства (значения коэффициентов взять из табл. 2).
.
Таблица 2. Таблица значений коэффициентов .
№ |
№ |
||||||
1 |
2 |
2 |
3 |
16 |
3 |
4 |
4 |
2 |
2 |
4 |
3 |
17 |
3 |
2 |
4 |
3 |
3 |
2 |
1 |
18 |
2 |
3 |
4 |
4 |
4 |
1 |
2 |
19 |
4 |
4 |
2 |
5 |
2 |
4 |
1 |
20 |
2 |
2 |
4 |
6 |
2 |
1 |
3 |
21 |
2 |
2 |
4 |
7 |
1 |
3 |
4 |
22 |
4 |
2 |
2 |
8 |
2 |
3 |
1 |
23 |
1 |
4 |
2 |
9 |
2 |
3 |
1 |
24 |
4 |
1 |
3 |
10 |
3 |
2 |
1 |
25 |
2 |
4 |
2 |
11 |
2 |
3 |
1 |
26 |
3 |
4 |
2 |
12 |
1 |
3 |
3 |
27 |
1 |
2 |
4 |
13 |
3 |
4 |
3 |
28 |
1 |
3 |
3 |
14 |
2 |
2 |
3 |
29 |
2 |
3 |
4 |
15 |
3 |
3 |
2 |
30 |
2 |
3 |
2 |
Задание №8. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
1) Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей (табл. 3) в некотором базисе ;
2) Выяснить, можно ли матрицу привести к диагональному виду переходом к новому базису. Если это можно сделать, то указать новый базис.
Таблица 3
Вар |
Матрица |
Вар |
Матрица |
Вар |
Матрица |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|