Praktikum_3
.pdf1
Дистанционный курс «Линейная алгебра для очников» (2 семестр)
Практикум №3. Квадратичные формы
В данном практикуме рассматриваются следующие задачи:
1) приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа выделения полных квадратов;
2 приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования;
3) исследование квадратичной формы на знакоопределенность при помощи критерия Сильвестра.
Примеры задач, рассматриваемых в данном практикуме, соответствуют заданиям 9, 10 типового расчета.
|
1. Понятие квадратичной формы. |
|
|
||
|
Преобразования квадратичных форм |
|
|
||
Определение 1. Квадратичной формой L x1, x2, ..., xn |
от n переменных |
||||
x1, x2, ..., xn называется однородный многочлен второй степени |
|
||||
L x1, |
n n |
n |
2 aijxi |
|
|
x2, ..., xn aijxixj |
aiixi2 |
xj , aij R. |
(1) |
||
|
i 1 j 1 |
i 1 |
1 i j n |
|
|
Запись вида (1) называется координатной формой записи квадратичной формы (с приведенными подобными членами).
Если в линейном пространстве Rn выбран некоторый базис, то переменные x1, x2, ..., xn можно интерпретировать как координаты вектора в этом базисе:
|
x1 |
|
|
x |
|
|
. |
|
x 2 |
||
|
... |
|
|
|
|
|
xn |
|
Если обозначить через |
A aij n |
(aij aji , i, j 1,2,...,n ) матрицу n-го |
|||||||
|
|
i,j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
порядка из коэффициентов |
aij , |
то квадратичную форму (1) |
можно записать в |
||||||
матричной форме |
L x1, x2, ..., xn L |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
T Ax |
. |
(2) |
||||
|
x |
x |
|||||||
Квадратная матрица A aij n |
называется матрицей квадратичной формы. |
||||||||
|
i,j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 2. Рангом квадратичной формы (2) называется ранг её мат-
рицы A. При этом пишут
rang L rang A .
Определение 3. Квадратичная форма (2) называется невырожденной, если соответствующая ей матрица A является невырожденной. При этом rang L rang A n. В противном случае (если rang L rang A n) квад-
ратичная форма (2) называется вырожденной.
Практикум №3. Квадратичные формы
2
Рассмотрим, как меняются коэффициенты квадратичной формы (2) при линейной замене переменных. Пусть переменные x1, x2, ..., xn заменяются на переменные y1, y2, ..., yn по формулам
|
|
|
x1 t11y1 |
t12 y2 |
... t1n yn, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
t21y1 |
t22 y2 ... t2n yn, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
(3) |
|||||||||||||||||
|
|
|
............................................. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
t |
n1 |
y |
t |
n |
2 |
y |
2 |
... t |
nn |
y |
n |
, |
|
|
||||
где tij R некоторые числа. |
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t11 |
t12 |
|
... |
t1n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если обозначить |
|
y2 |
, T tij |
n |
|
|
t21 |
t22 |
|
... |
t2n |
, то (3) можно пе- |
||||||||||
y |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
... |
|
|
|
|
i,j 1 |
|
|
... ... |
|
... |
... |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tn2 |
|
... |
|
|
||
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
tn1 |
|
tnn |
|
||||||||
реписать в матричной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
. |
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
Определение 4. Преобразование (4) называется линейным преобразовани-
ем. Матрица T называется матрицей линейного преобразования. При этом, ес-
ли матрица T является неособенной, то преобразование (4) называется неосо-
бенным линейным преобразованием.
Применим преобразование (4) к форме (2):
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
T |
T |
T |
AT |
|
|
|
|
T |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
L x x Ax Ty |
|
A Ty y |
|
|
|
y y A y, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
T |
AT . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где обозначена матрица A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Итак, если к квадратичной форме (2) применить линейное преобразование |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(10.4), то получим квадратичную форму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
T |
T |
AT. |
(5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L y y A y, |
A |
|
|
Если рассматривать x, y как координатные вектор-столбцы вектора в базисах B, B соответственно, то матрица T является матрицей перехода от базиса B к базису B (при этом преобразование (4) будет неособенным линейным преобразованием).
Наибольший интерес для дальнейшего изучения квадратичных форм представляют такие неособенные преобразования (4), которые приводят квадратичную форму (2) к квадратичной форме (5) с диагональной матрицей A :
|
|
|
1 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
... |
0 |
|
|
|
, 2 |
, ..., n |
|
|
. |
||||
A diag 1 |
... |
... |
... |
... |
|||||
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
Определение 5. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит только квадраты переменных и не содержит парных
Практикум №3. Квадратичные формы
3
произведений разноименных переменных:
|
|
n |
|
|
T |
|
|
|
R. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(6) |
|||
L y i yi |
y |
A y, i |
||||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (6), называется диагонализирующим базисом. Задача нахождения диагонализи-
рующего базиса называется задачей диагонализации квадратичной формы.
Если (2) есть невырожденная квадратичная форма (rang L n), то в ре-
зультате неособенного линейного преобразования (4) матрица A будет являться неособенной матрицей (при неособенных линейных преобразованиях ранг матрицы не изменяется). То есть при всех i 1,2,...,n: i 0. Если же квадра-
тичная форма (2) является вырожденной и имеет ранг rang L r n, то диа-
гонализирующий базис (если он существует) можно выбрать так, что матрица A в этом базисе имеет следующий диагональный вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ..., |
, |
0, ..., 0 |
|
, |
|
0 |
, i 1, ..., r. |
A diag |
i |
|||||||
|
1 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
n-r |
|
|
|
|
|
Для любой квадратичной формы всегда можно найти диагонализирующий базис, в котором эта форма имеет канонический вид (6).
Пример 1. Задана квадратичная форма от трех переменных x1, x2, x3 в
стандартном базисе пространства R3:
|
|
n |
n |
|
L |
|
L x1, x2, x3 aijxixj |
10x12 x22 12x32 8x1 x2 24x1 x3 12x2x3 . |
|
x |
||||
|
|
i 1 |
j 1 |
|
Найти вид этой квадратичной формы в базисе, если задана матрица перехода
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
0 |
1 |
2 |
|
T tij i,j 1 |
|
|
. |
|||
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
Решение. Матрица A квадратичной формы имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
4 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
6 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда по формуле (5) определяем матрицу A этой формы в новом базисе |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
2 T |
10 |
4 |
12 |
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
0 |
0 |
|||||||||
|
T |
T |
AT |
|
0 |
1 |
2 |
|
|
4 |
1 |
6 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
0 |
3 |
0 |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 1 |
|
|
12 |
6 12 |
|
|
|
1 0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В новом базисе переменных y1, y2, y3 квадратичная форма имеет канонический вид
3
L y i yi2 2y12 3y22 .
i 1
Практикум №3. Квадратичные формы
4
2.Приведение квадратичных форм
кканоническому виду методом Лагранжа
Рассмотрим наиболее простой и чаще используемый на практике способ приведения квадратичной формы к каноническому виду, называемый методом Лагранжа. Он основан на выделении полного квадрата в квадратичной форме.
Теорема 1 (теорема Лагранжа). Любую квадратичную форму (1):
n n |
n |
2 aijxi xj , |
|
L x1, x2, ..., xn aijxixj |
aiixi2 |
aij R |
|
i 1 j 1 |
i 1 |
1 i j n |
|
при помощи неособенного линейного преобразования (4) можно привести к каноническому виду (6):
|
|
|
n |
|
|
T |
|
|
|
L y |
2 |
|
|
|
|
i R, |
|||
i yi |
y A y, |
||||||||
где A diag 1, 2, ..., n . |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Привести квадратичную форму
L x1, x2 x12 4x1 x2 x22
к каноническому виду методом Лагранжа. Указать соответствующее неособенное линейное преобразование. Выполнить проверку.
Решение. Выберем ведущей переменную x1 (коэффициент a11 1). Груп-
пируя слагаемые, содержащие x1, и выделяя по ней полный квадрат, получим
L x1, x2 x12 4x1 x2 x22 x12 2x1 2x2 4x22 4x22 x22
x1 2x2 2 4x22 x22 x1 2x2 2 3x22.
Сделаем замену переменных (введем новые переменные y1, y2 )
|
|
x1 2x2, |
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
y2 |
x2. |
|
|
Выразив старые переменные x1, x2 |
через новые y1, y2 : |
|||
|
|
|
2y2 |
, |
x1 y1 |
2x2, x1 y1 |
|||
x2 y2. |
x2 y2. |
|
Составим матрицу из коэффициентов при переменных u1, u2 :
1 |
2 |
||
S1 |
0 |
1 |
|
|
|
неособенного линейного преобразования x S1 y, в результате которого исходная квадратичная форма примет канонический вид
L x1, x2 x1 2x2 2 3x22 y12 3y22.
Так как выделение полного квадрата проводилось однократно, то матрица T неособенного линейного преобразования (4) совпадает с матрицей S1. Итак, искомая матрица T неособенного линейного преобразования (4) имеет вид
Практикум №3. Квадратичные формы
5 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
T |
0 |
1 |
. |
|
|
Выполним проверку проведённых вычислений. Матрицы исходной квадратичной формы и канонической формы имеют вид
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
, |
A |
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Убедимся в справедливости равенства (5): |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 T |
1 |
2 1 |
2 |
|
1 |
|
0 1 |
2 1 |
2 |
|
||||||
TT A T |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
1 |
|
|||
|
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
||||||
1 |
2 1 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 0 |
1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Привести квадратичную форму |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
L x , x , x |
x2 |
5x |
2 4x2 |
2x x 4x x |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
|
к каноническому виду методом Лагранжа. Указать соответствующее неособенное линейное преобразование. Выполнить проверку.
Решение. Выберем ведущей переменную x1 (коэффициент a11 1). Груп-
пируя слагаемые, содержащие x1, и выделяя по ней полный квадрат, получим
L x1, x2, x3 x12 2x1 x2 4x1 x3 5x22 4x32 x12 2x1 x2 2x3 5x22 4x32
x12 2x1 x2 2x3 x2 2x3 2 x2 2x3 2 5x22 4x32 x1 x2 2x3 2
2
4x22 4x2x3 8x32 x1 x2 2x3 L1 x2, x3 ,
где обозначено L1 x2, x3 4x22 4x2x3 8x32.
Сделаем замену переменных (введем новые переменные u1, u2, u3 )
u1 x1 x2 2x3 ,u2 x2,
u3 x3.
Выразив старые переменные x1, x2, x3 через новые u1, u2, u3 :
x1 u1 u2 2u3 ,x2 u2,
x3 u3,
получим матрицу из коэффициентов при переменных u1, u2, u3 :
|
1 |
1 |
2 |
||
S |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
Практикум №3. Квадратичные формы
6
неособенного линейного преобразования x S1u, в результате которого исходная квадратичная форма примет вид
L x1, x2, x3 u12 L1 u2, u3 u12 4u22 4u2u3 8u32.
К квадратичной форме L1 u2, u3 4u22 4u2u3 8u32 применим метод выде-
ления полного квадрата при ведущей переменной u2 :
L x1, x2, x3 u12 4u22 4u2u3 8u32 u12 4 u22 u2u3 8u32 u12
4 u22 2u2 12 u3 12 u3 2 12 u3 2 8u32 u12 4 u2 12 u3 2 9u32.
Сделаем снова замену переменной (введем новые переменные y1, y2, y3 )
y1 u1 ,
y2 u2 12 u3,
y3 u3.
Выразив переменные u1, u2, u3 через новые y1, y2, y3 :
u1 y1 ,
u2 y2 12 y3,
u3 y3,
получим матрицу из коэффициентов при переменных y1, y2, y3
|
1 |
0 |
0 |
|
|||
S2 |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||
2 |
|||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
неособенного линейного преобразования u S2 y, в результате которого квадратичная форма примет искомый канонический вид
|
|
|
L y , y |
, y |
3 |
|
y |
2 |
4y2 |
9y2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Вычислим матрицу T |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
неособенного линейного преобразования (4). Учи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
тывая равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
, |
|
S2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
u |
u |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
получим, что матрица T имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
1 |
2 1 0 |
|
0 |
|
1 |
1 |
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
T S S |
|
|
0 1 |
0 |
|
|
0 1 |
|
|
1 |
|
|
|
0 1 |
|
1 |
. |
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
0 0 |
1 |
|
|
0 0 |
|
1 |
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||
Выполним проверку проведённых вычислений. Матрицы исходной квадра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
тичной формы и канонической формы имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 2 |
|
1 |
|
0 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
A |
|
1 |
5 0 |
|
|
|
0 |
|
4 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
, A |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
0 4 |
|
|
|
0 |
|
0 9 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Убедимся в справедливости равенства (5):
Практикум №3. Квадратичные формы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 T |
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
1 |
|
5 |
|
|
|
1 0 |
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
T |
|
AT |
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
5 |
0 |
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
0 4 |
0 |
|
A . |
||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
9 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
0 |
4 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
3.Ортогональные преобразования. Приведение квадратичной формы
кканоническому виду методом ортогональных преобразований
Для любой симметрической матрицы A aij in,j 1 (AT A) существует орто-
гональная матрица U uij in, j 1 (UT U E ) такая, что выполняется равенство
|
U |
T |
|
, 2 |
,..., n , |
(7) |
A |
|
A U , A diag 1 |
где 1, 2,..., n R – собственные значения матрицы A, повторяющиеся с учетом их алгебраических кратностей.
При этом собственные векторы матрицы A, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны.
Определение 6. Линейное преобразование вида
x U y |
(8) |
с ортогональной матрицей U (UT U E ) называется ортогональным преобра-
зованием.
Если взять в качестве матрицы A матрицу квадратичной формы (1), то при помощи ортогонального преобразования (8) ее можно привести к диагональному виду (7). А это означает, что любую квадратичную форму (1) с помощью ортогонального преобразования (8) можно привести к каноническому виду
n |
|
K y1, y2, ..., yn i yi2 1y12 2y22 ... n yn2 . |
(9) |
i 1
Чтобы найти матрицу U , осуществляющую ортогональное преобразование (8), необходимо:
1)найти собственные числа 1, 2,..., k R (k n) матрицы A, указав соответствующие алгебраические кратности;
2)для каждого собственного числа i (i 1,k ,k n) найти соответствую-
щий набор линейно независимых собственных векторов (их количество должно равняться алгебраической кратности собственного числа). В результате получим линейно независимую систему собственных векторов;
3) преобразовать полученную в пункте 2 систему собственных векторов в ортонормированную систему векторов. При этом, если 1, 2,..., n есть различные собственные числа матрицы A, то соответствующая система собственных векторов является ортогональной, и достаточно пронормировать собственные векторы. Если же среди собственных чисел 1, 2,..., n есть равные, то необходимо провести процесс ортогонализации Грамма-Шмидта (так как основным пространством является евклидово пространство Rn , то скалярное произведение задается в нем стандартным образом).
Практикум №3. Квадратичные формы
8
В результате получить ортогональную матрицу U , столбцами которой являются векторы ортонормированной системы.
4) Записать ортогональное преобразование (8) и соответствующую каноническую форму (9). Рекомендуется выполнить проверку равенства (5).
Пример 4. Привести квадратичную форму
L x1, x2 5x12 8x1x2 5x22
к каноническому виду методом ортогонального преобразования.
Решение.
1) Найдем собственные значения матрицы A квадратичной формы. Матрица формы в нашем случае имеет вид
5 |
4 |
|
|
A |
4 |
5 |
. |
|
|
Для нахождения собственных чисел составляем характеристический многочлен
|
P det A E |
5 |
|
4 |
. |
|
2 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|||
Решим соответствующее характеристическое уравнение |
|||||
P |
5 2 42 0 5 4, |
|
1, |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
5 4 |
9. |
|||
Итак, собственные значения матрицы 1 |
1, 2 |
9. Алгебраическая крат- |
ность каждого собственного числа равна 1 (все числа попарно различны).
2) Для каждого собственного числа i (i 1,2) найдем соответствующий двумерный собственный вектор
|
v i |
||
v i |
|||
|
1 . |
||
|
|
i |
|
|
v2 |
Соответствующая система линейных алгебраических уравнений для нахо-
ждения собственного вектора v i |
имеет вид |
4 v i |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
A E v i |
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
i |
5 |
|
1 |
|
|
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
v2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Решим для каждого собственного числа i (i |
|
) систему (10). При 1 1 |
||||||||||||||||||||||||
1,3 |
||||||||||||||||||||||||||
система (10) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4v1 |
4v1 |
|
||||||||||
5 1 |
4 |
v1 |
0 |
4 |
4 v1 |
0 |
|
0, |
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4v1 |
0. |
||||||||||||||||
4 |
5 1 |
v1 |
0 |
4 |
|
v1 |
0 |
|
4v1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
Ее решением (берем любое ненулевое частное решение) является |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате получаем первый собственный вектор
Практикум №3. Квадратичные формы
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
v |
1 |
|||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
1 |
Аналогично собственный вектор, соответствующий собственному значению 2 9, имеет вид
2 1
v.1
Получаем линейно независимую систему собственных векторов
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
v |
1 |
, v |
2 |
||||
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
3) Преобразуем полученную в пункте 2 систему собственных векторов в ортонормированнуюсистему.Cистемасобственныхвекторовявляетсяортогональной:
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
1 |
|
v1 , v 2 v1 |
|
1 1 0. |
||||||||
v 2 1 |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Пронормировав собственные векторы, получим систему ортонормированных векторов:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e i |
|
|
|
|
v |
|
|
|
, |
|
v i |
|
|
v i , |
v i |
v i T |
v i , |
|
|
e i |
|
1 (i |
1,2 |
), |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
v 2 |
|
|
|
1 1 |
|||||||||||||||||||||||
|
v |
1 |
|
|
|
2 , |
|
v |
2 |
|
2, e |
1 |
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v 2 |
2 |
|
1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате получаем ортогональную матрицу, столбцами которой являются вектор-столбцы построенной ортонормированной системы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
U e1 |
e2 |
|
|
|
1 |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4) Соответствующая каноническая форма (9) имеет вид
2
K y1, y2, y3 i yi2 1 y12 9y22 y12 9y22 . i 1
Выполним проверку проведенных вычислений. Матрицы исходной квадратичной формы и канонической формы имеют вид
5 |
4 |
|
, |
|
1 |
||
A |
4 |
5 |
|
A |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Убедимся в справедливости равенства (5):
U |
T |
A U |
1 1 |
1 T |
5 |
|
4 |
1 1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
1 |
|||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
2 |
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
9 |
|
|
0 |
|
18 |
0 |
A. |
||||||||||||||||||||
|
2 9 |
|
|
1 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
.
1 5 |
4 |
1 |
1 |
|
|||||
1 |
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
Практикум №3. Квадратичные формы
10
Пример 5. Привести квадратичную форму
L x1, x2, x3 2x12 5x22 11x32 20x1x2 4x1x3 16x2x3
к каноническому виду методом ортогонального преобразования.
Решение.
1) Найдем собственные значения матрицы A квадратичной формы. Матрица формы имеет вид
|
|
2 |
10 |
2 |
|
A |
|
10 |
5 |
8 |
|
|
. |
||||
|
|
2 |
8 |
|
|
|
|
11 |
Для нахождения собственных значений составляем характеристическое уравнение
P3 det A E |
2 |
10 |
2 |
|
10 |
5 |
8 |
. |
|
|
2 |
8 |
11 |
|
Раскладывая определитель по первой строке, получим
P3 3 18 2 81 1458 0.
Находим корни характеристического уравнения. Для этого сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе – с четвертым:
3 81 18 2 1458 2 81 18 2 81 18 2 81
18 9 9 0.
Врезультате получаем собственные значения
1 9, 2 9, 3 18.
Алгебраическая кратность каждого собственного значения равна 1 (все числа попарно различны).
2) Для каждого собственного числа i (i 1,3) найдем соответствующий собственный вектор
v i1
v i v2i .
v i3
Соответствующая система линейных алгебраических уравнений для нахо-
ждения собственного вектора v i имеет вид |
|
|
|
|
v i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
10 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
A E v i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
3 |
|
10 |
5 |
8 |
|
v i |
|
|
0 |
(11) |
|||||||||
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
8 |
11 |
|
|
i |
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
Решим для каждого собственного числа i |
(i |
|
) |
|
систему (11). |
При |
||||||||||||||
1,3 |
|
|||||||||||||||||||
1 9 система (11) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практикум №3. Квадратичные формы