Случайные величины. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин
Смоленск 2009
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять любые заранее неизвестные значения. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретной случайной величиной называется такая, значения которой есть конечное или счётное множество фиксированных величин.
Законом распределения вероятностей (рядом распределения) дискретной случайной величины называется последовательность возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, причём
|
X |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
P |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Ряд распределения можно задать графически, откладывая на горизонтальной оси значения Х, а на вертикальной - соответствующие им значения вероятностей. Графическое представление ряда распределения называется многоугольником распределения.
Для
дискретной случайной величины можно
ввести понятие функции
распределения
F(x),
которая равна вероятности случайного
события, состоящего в том, что дискретная
случайная величина Х
примет одно из возможных значений,
меньших некоторого значения х,
т.е.
Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга.
Вероятность события X < x (где Х – значение непрерывной случайной величины, а х – произвольно задаваемое значение), рассматриваемая как функция от х, называется функцией распределения вероятностей:
Производная от функции распределения вероятностей называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности:
Функция распределения вероятности выражается через плотность вероятности в виде интеграла:
Вероятность попадания случайной величины в интервал (х1, х2) равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале:
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида
Средним значением или математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется значение интеграла
Свойства математического ожидания:
1. M(X)=CM(X); M(C)=C,
где С – произвольная постоянная величина.
2.
если
–взаимно независимые
случайные величины.
3.
Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
Дисперсию целесообразно вычислять по формуле
Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется значение интеграла
Для определения дисперсии может быть также использована формула
Свойства дисперсии:
1.
где С – произвольная постоянная.
2.
где
– независимые
случайные величины.
3.
где
-среднее квадратичное
отклонение.
Модой Мо(Х) непрерывной случайной величины Х называется такое значение этой величины, плотность вероятности которой максимальна.
Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, при котором выполняется равенство
Основные распределения и их числовые характеристики.
Биноминальное:
Пуассона:
Равномерное:
Нормальное:
Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) находится по формуле
где
- функция Лапласа.
Логнормальное:
Хи-квадрат:
Стьюдента:
Фишера-Снедекора:
Цель занятий: 1. Добиться усвоения свойств функции распределения и функции плотности вероятности.
2. Изучение некоторых стандартных распределений (показательного, нормального и т.д.). При этом полезно назвать возможные приложения этих законов распределения.
3. Выработать навыки вычисления числовых характеристик случайных величин и вероятности попадания в интервал.
4.Желательно научить студентов считывать информацию о случайной величине с графика функции распределения и функции плотности вероятности. Рекомендуется случайные величины обозначить большими буквами X,Y,Z и т. д., а возможные значения - соответственно малыми буквами x, y, z и т.д.
Студенты должны быть готовы ответить на следующие вопросы:
1. Каким образом могут быть заданы дискретные, непрерывные и смешанные случайные величины?
2. Что является полной статистической характеристикой случайной величины?
3. Какие размерности имеют функция распределения и плотность вероятности?
4. Каким образом функция распределения связана с вероятностью?
5. Может ли при каком-либо значении аргумента быть
функция распределения больше единицы?
плотность распределения больше единицы?
–функция распределения отрицательной?
плотность распределения отрицательной?
6. С какой целью вводятся числовые характеристики случайных величин?
7.Какова размерность математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения, третьего, четвертого начальных и центральных моментов?
Задача 1. Монета подбрасывается 5 раз. Написать закон распределения случайной величины, равной числу выпавших гербов минус число выпавших цифр. Построить многоугольник распределения, функцию распределения.
Решение. Случайная величина X – число выпавших гербов минус число выпавших цифр – имеет следующие возможные значения:
х
=
-5, х
=
-3, х
=
-1, х
=1,
х
=3,
х
=5.
Подбрасывания
монеты можно рассматривать как независимые
испытания, вероятность выпадения герба
в каждом из которых равна р
=
.
Поэтому применима формула Бернулли:
Р(Х=5)=Р(Х=
-5)=Р
(0)=С
=
,
Р(Х=3)=Р(Х=
-3)=Р
(1)=
С
=
,
Р(Х=1)=Р(Х=
-1)=Р
(2)=
С
=
.
Напишем закон распределения:
|
X |
-5 |
-3 |
-1 |
1 |
3 |
5 |
|
P |
1/32 |
5/32 |
10/32 |
10/32 |
5/32 |
1/32 |
П
остроим
многоугольник распределения
(рис. 2).
Рис. 2.
Построим функцию распределения (рис. 3)
Рис. 3.
Задача 2. Некто имеет на связке 5 ключей. При отмыкании замка последовательно один за другим испытывает ключи, пока не подберет нужный ключ. Написать закон распределения числа испытанных ключей. Подсчитать математическое ожидание этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.
Решение.
Возможные значения числа попыток 1,
2, 3, 4, 5. Найдем
вероятности этих значений. Случайная
величина Х
примет значение х
=1,
если мы попадем с первой попытки,
вероятность чего р
=
.
Случайная величина Х
примет значение х
=
2, если при
первой попытке мы не попадем (вероятность
чего
)и
попадем при второй попытке (вероятность
чего
,
в силу зависимости событий), т. е.Р(
Х=2)=
=
;
Аналогично:
Р(
Х=3)=
=
,
Р(Х
= 4) =
=
,P
(Х
=5) =
1=
.
В итоге:
-
X
1
2
3
4
5
P
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
М
(Х)
=
1
+ 2
+ 3
+ 4
+ 5
=3.
Рекомендуется построить многоугольник распределения и функцию распределений по аналогии с 1-й задачей.
Задача 3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р. Написать закон распределения числа выстрелов до первого попадания в цель. Подсчитать математическое ожидание этой случайной величины.
Решение.
Величина Х
примет
значения
,
если будет попадание при первом же
выстреле, вероятность чего равнаp.
Понадобится два выстрела (величина Х
примет значение х
=2),
если при первом выстреле не попадем
(вероятность чего q=1-p)
и при втором попадем с вероятностью р
(в силу независимости испытаний), т.е.
Р(Х=2)= q
р.
Аналогично
Р
(
Х=3) =q
q
р = q
р,…, Р(Х=
)
=q
q
…. q
р = qk–1р.
k–1 раз
В результате закон распределения случайной величины имеет вид
|
X |
1 |
2 |
3 |
… |
k |
… |
|
P |
p |
Qp |
q |
… |
q |
… |
p
p
Это геометрический закон распределения.
(получаем
сходящийся ряд, так как
).
Задача 4. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобрали две детали. Написать закон распределения числа нестандартных деталей среди двух отобранных. Подсчитать математическое ожидание этой случайной величины.
Решение.
Случайная величина X
– число
нестандартных деталей среди двух
отобранных имеет следующие возможные
значения:
Найдем их вероятности
Составим искомый закон распределения случайной величины
-
X
0
1
2
P
7/15
7/15
1/15
Находим математическое ожидание
.
Задача 5. Вероятный прогноз для величины Х – процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течении шести месяцев – дан в виде закона распределения:
|
X |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
|
P |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 36% годовых.
Решение.
Прирост суммы на банковском депозите
при условии 3%
в месяц составит через 6
месяцев
Вероятность того, что покупка акций
выгоднее банковского депозита,
определяется суммой вероятностей,
соответствующих более высокому росту
курса акций:
Задача 6. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в некотором автосалоне составляют в среднем 100 тыс. р., а число продаж Х автомашин в течение дня подчиняется следующему закону распределения:
|
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Р |
0,25 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,05 |
0,05 |
0,025 |
0,025 |
а)Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене на машину 150 тыс. р.. б) Дисперсию ежедневной продажи числа автомашин.
Решение. а)Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле
П = (150Х – 100) тыс. р.
Искомая характеристика М(П) находится с использованием указанных выше свойств математического ожидания (в тыс. р.):
М(П)=М(150Х–100)=50М(Х)–100=150∙2,675–100 = 301,25.
б) Закон распределения случайной величины Х2 имеет вид:
|
Х2 |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
|
Р |
0,25 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,05 |
0,05 |
0,025 |
0,025 |
М(Х2) = 0 ∙ 0,25 + 1 ∙ 0,2 + 9 ∙ 0,1 + 16 ∙ 0,1 + 25 ∙ 0,1 + 36 ∙ ∙0,05 + 49 ∙ 0,05 + 64 ∙ 0,025 + 81 ∙ 0,025 = 13,475.
Математическое ожидание М(Х) = 2,675. Следовательно, получаем искомую величину дисперсии:
Задача
7. Случайная
величина X
задана на всей оси функцией распределения
.
Найти функцию плотности вероятности и
вероятность того, чтоX
примет значение, заключенное в интервале
(0,1).
Решение.
По определению
Полезно сопроводить решение задачи рис.4.
З
адача
8. Функции
распределения случайной величины имеет
вид, изображенный на рис.5.
Найти: a)функцию плотности вероятности; б) глядя на график F(x), указать основные особенности случайной величины, например, интервал возможных значений, наиболее вероятные значения и т.д.; в) M(X), D(X); г) P(X<1), P(1<X<2).
Решение.
a)
б)
,
;
в)
,
.
Задача
9. Функция
распределения времени имеет вид
где
- некоторый параметр. Найти функцию
плотности вероятности. Найти математическое
ожидание этой случайной величины. Если
то
вычислить вероятность
Решение.
По определению
Задача 10. Поезда метро следуют с интервалом 2 минуты. Пассажир в случайный момент времени приходит на платформу. Указать функцию распределения времени ожидания пассажира. Найти и построить функцию плотности вероятности времени ожидания. Найти математическое ожидание и дисперсию времени ожидания.
Решение. Естественно предположить, что равновозможно прибытие пассажира в любой момент времени между прибытиями поездов. Формально это означает, что время ожидания X имеет равномерный закон распределения, с плотностью вероятности
Тогда
см. рис. 6.
Задача 11. Систематическая ошибка высотометра равна+20 м, а случайная ошибка распределена по нормальному закону со средним квадратичным отклонением 60 м. Какова вероятность того, что ошибка измерения не превысит по абсолютной величине 100 м?
Решение.
Случайная величина
.
Из рис. 7 видно, что нужно вычислить вероятность равную заштрихованной площади, т. е.
Задача 12. Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики, распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 48 и 2. Определить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале (49, 51).
Решение.
По условию задачи
Вероятность спроса на 50-й размер в заданном интервале равна
Следовательно, спрос на 50-й размер костюмов составит около 24%, и магазину нужно предусмотреть это в общем объёме закупки.
Задача
13. Для годной
детали допустимо отклонение от номинала
не более чем два микрона. Случайное
отклонение размера детали от номинала
при изготовлении её на данном станке
имеет нулевое математическое ожидание
и среднее квадратическое отклонение
5мк. Сколько необходимо изготовить
деталей, чтобы с вероятностью не менее
0,9
среди них была хотя бы одна годная?
Решение. Отклонение от номинала X имеет закон распределения N(0,52). Тогда вероятность того, что деталь годная, равна
Изготовление детали рассматриваем как независимый опыт с вероятностью “успеха” p=0,31. Тогда необходимое число деталей определяется из соотношения
Дополнительные задачи.
Задача 1. В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продаётся 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.
Решение. Возможные значения случайной величины Х – чистого выигрыша на один билет – равны 0 – 7 = -7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200 – 7 =193, 250 – 7 =243, 5000 – 7 = =4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля). Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1, и используя классическое определение вероятности, получим:
т.е. ряд распределения
|
Х |
-7 |
193 |
243 |
4993 |
|
Р |
0,990 |
0,005 |
0,004 |
0,001 |
Задача 2. Вероятность того, что студент сдаст семестровый экзамен в сессию по дисциплинам А и Б, равны соответственно 0,7 и 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент.
Решение. Возможные значения случайной величины Х - числа сданных экзаменов – 0, 1, 2.
Пусть Ai – событие, состоящее в том, что студент сдаст i-й экзамен (i=1,2). Тогда вероятность того, что студент сдаст в сессию 0,1,2 экзамена, будут соответственно равны (считаем события А1 и А2 независимыми):
Итак ряд распределения случайной величины
-
Х
0
1
2
Р
0,03
0,34
0,63
Задача 3. Вычислить М(Х) для случайной величины Х - чистого выигрыша по данным задачи 1.
Решение.
т.е.
средний выигрыш равен нулю. Полученный
результат означает, что вся выручка от
продажи билетов идёт на выигрыши.
Задача 4. Известны законы распределения случайных величин X и Y – числа очков, выбиваемых 1-м и 2-м стрелками.
|
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
P |
0,15 |
0,11 |
0,04 |
0,05 |
0,04 |
0,1 |
0,1 |
0,04 |
0,05 |
0,12 |
0,2 |
|
Y |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
P |
0,01 |
0,03 |
0,05 |
0,09 |
0,11 |
0,24 |
0,21 |
0,1 |
0,1 |
0,04 |
0,02 |
Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.
Рассматривая ряды распределения случайных величин X и Y, ответить на этот вопрос далеко не просто из-за обилия числовых значений, К тому же у первого стрелка достаточно большие вероятности (например, больше 0,1) имеют крайние значения числа выбиваемых очков (X = 0; 1 и X = 9; 10), а у второго стрелка – промежуточные значения (Y = 4; 5; 6).
Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее количество очков.
Вычислим M(X) и M(Y)
т.е
среднее число выбиваемых очков у двух
стрелков одинаковое.
Задача 5. В задаче 4 вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа выбитых очков для каждого стрелка.
Итак, при равенстве средних значений числа выбиваемых очков (M(X)=M(Y)) его дисперсия, т.е. характеристика рассеяния относительно среднего значения, меньше у второго стрелка (D(X)<D(Y)) и, очевидно, ему для получения более высоких результатов стрельбы по сравнению с первым стрелком нужно сместить «центр» распределения числа выбиваемых очков, т.е. увеличить M(Y), научившись лучше целиться в мишень.
Задача 6. По многолетним статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной величины Х – числа мальчиков в семье из 4 детей. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Число мальчиков в семье из n = 4 представляет случайную величину Х с множеством значений Х = m =0, 1, 2, 3, 4, вероятности которых определяются по формуле Бернулли:
где
q =
1 – p.
В нашем случае n = 4, p = 0,515, q = 1 – p = 0,485.
Вычислим
Ряд распределения имеет вид
|
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Р |
0,055 |
0,235 |
0,375 |
0,265 |
0,070 |
Убеждаемся,
что
Учитывая, что закон распределения случайной величины X биномиальный имеем
Задача 7. Ряд распределения дискретной случайной величины состоит из двух неизвестных значений. Вероятность того, что случайная величина примет одно из этих значений равна 0,8. Найти функцию распределения случайной величины, если её математическое ожидание равно 3,2, а дисперсия 0,16.
Решение. Ряд распределения имеет вид
-
Х
Х1
Х2
Р
0,8
0,2
где pi = 0,8, а p2 = 1 – p1 = 1 – 0,8 = 0,2.
По условию
или
Решая полученную систему, находим два решения:
и
Записываем выражение функции распределения:
или
Задача 8. Дана функция распределения случайной величины X:
а) Найти плотность вероятности f(x); б) построить графики f(x) и F(x); в) убедиться в том, что X – непрерывеая случайная величина; г) найти вероятности P(X=1), P(X<1), P(1≤X<2) (две последние вероятности показать на графиках f(x) и F(x)); д) вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), моду Мо(Х), и медиану Ме(Х).
Решение. а) Плотность вероятности
б) Графики f(x) и F(x) изображены на рис. 8 а и б.
в) Случайная величина Х – непрерывная, так как функция распределения F(x) непрерывна, а её производная – плотность вероятности f(x) – непрерывна во всех точках, кроме одной (x = = 2);
г) P(X=1) = 0 как вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины.
P(X<1) можно найти либо по определению функции распределения, либо по формуле через плотность вероятности f(x):
(ордината
графика F(1)
– см. рис. 8б
– или
(площадь под кривой распределения f(x) на отрезке [0;1] – см. рис. 8а).
P(1≤X≤2) можно найти либо как приращение функции распределения, либо через плотность вероятности f(x):
(приращение
ординаты графика F(X)
на отрезке [1;2]
– рис. 8б)
– или
(площадь под кривой распределения f(x) на отрезке [1;2] – рис. 8а).
д)
Плотность вероятности f(x) максимальна при x=2, следовательно, Мо(Х)=2.
Медиану
Ме(X)=b
найдём из
условия
т.е.
откуда
или через
плотность вероятности
т.е.
откуда
Задача 9. Банк выдаёт 5 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого из заёмщиков. Составить таблицу закона распределения количества заёмщиков, не вернувших кредит по окончанию срока кредитования. Найти математическое ожидание числа невозврата кредитов.
Решение. Примем за А событие невозврата кредита. Так как заёмщики действуют независимо, то выдачу 5 кредитов можно считать за 5 независимых событий. Вероятность невозврата k кредитов из 5 описывается биномиальным распределением, где p = 0,2, q = 0,8, m принимает значения от нуля до 5. Таблица закона распределения имеет вид:
|
X |
5 |
4 |
3 |
|
P |
(0,2)5 |
5(0,2)4(0,8) |
10(0,2)3(0,8)2 |
|
X |
2 |
1 |
0 |
|
P |
10(0,2)2(0,8)3 |
5(0,2)(0,8)4 |
(0,8)5, |
или окончательно:
|
X |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
|
P |
0,00032 |
0,0064 |
0,0512 |
0,2048 |
0,4096 |
0,32768. |
Задача 10. Банк выдал ссуды n разным заёмщикам в размере S р. каждому под ставку ссудного процента r. Найти а) математическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата ссуды заёмщиком равна p; б) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение прибыли при n =1000, p =0,8, S = 100 тыс. р. и r = 30%.
Решение. а) Поскольку заёмщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем n независимых испытаний. Вероятность утери ссуды для банка в каждом испытании равна q = = 1 – p. Пусть X – число заёмщиков, возвративших ссуду с ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется формулой
П = (1+r/100)SX – nS,
где X является случайной величиной с биномиальным законом распределения.
М(П) = (1 + r/100)SM(X) – nS =
= (1 + r/100)Snp – Sn = Sn(rp/100 – q).
Поскольку выдача ссуды имеет смысл лишь при положительном математическом ожидании прибыли (положительная средняя величина прибыли), то из условия М(П) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента:
r > 100q/p, или r > 100(1 – p)/p.
D(П) = D((1 + r/100)SX – nS) = (1 + r/100)2S2npq.
б) Ставка ссудного процента удовлетворяет условию, чтобы математическое ожидание прибыли было положительным: 30 >100(1 – 0,8)/0,8. Математическое ожидание прибыли:
М(П) = Sn(rp/100 – q) =
= 100 ∙ 1000(30 ∙ 0,8/100 – 0,2) = 4 млн. р.
Среднее квадратическое отклонение прибыли:
Домашнее задание.
Задача 1. В партии из 25 кожаных курток 5 имеют скрытый дефект. Покупают 3 куртки. Найти закон распределения числа дефектных курток среди купленных. Построить многоугольник распределения.
Задача 2. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на заключение представлено 3 баланса предприятия. Составить закон распределения числа положительных заключений на проверяемые балансы.
Задача 3. Два покупателя независимо друг от друга делают по одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель равна 0,8, а вероятность того, что второй – 0,6. Случайная величина Х – число покупок, сделанных покупателями. Описать закон распределения случайной величины Х.
Задача 4. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90%, а на втором – 80%. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа банок с продукцией высшего качества.
Задача
5. Плотность
вероятности непрерывной случайной
величины Х
задана в интервале (–π/2;
π/2) функцией
Вне
этого интервала
Найти
параметрС
и определить вероятность попадания
случайной величины Х
в интервал
(0; π/4).
Задача
6. Случайная
величина Х
задана плотностью вероятности
при
– ∞ < x
< ∞. Определить параметр
и
математическое ожидание.
Задача 7. Паром для перевозки автомашин через залив подходит к причалу через каждые два часа. Считая, что время прибытия автомашин – случайная величина Х – распределено равномерно, определить среднее время ожидания автомашиной прихода парома и дисперсию времени ожидания.
Задача 8. Математическое ожидание нормально распределённой случайной величины – количества сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов, – равно 1 кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 до 1100г. Определить среднее квадратичное отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.
Ответы:
|
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
P |
114/230 |
95/230 |
20/230 |
1/230, |
|
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
P |
0,027 |
0,189 |
0,441 |
0,343, |
|
X |
2 |
1 |
0 |
|
P |
0,48 |
0,44 |
0,08, |
4)M(X)
= 2,519, σ(X)
≈ 0,64;
5)C
= 1/2; 6)
7)Mx
=
=1ч.,
Dx
=
1/3 ч2;
8)σx
=
48,8
г.
СМОЛЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Г. С. ЕВДОКИМОВА
ПРАКТИКУМ
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКЕ
МОДУЛЬ 6
Предельные теоремы теории вероятностей.
Смоленск 2009
Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева:
P(|X-a|>
ε)≤
(1)
или
P(|X-a|≤
ε)≥
1-
где a=M(X), ε >0.
Теорема Чебышева: Если дисперсии n независимых случайных величин X1, X2 ,... Xn ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайная величина сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий, т.е.
Следствие: Если независимые случайные величины X1,X2,...,Xn имеют одинаковые математические ожидания, равные a, а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной, то неравенство Чебышева и теорема Чебышева примут вид:
Теорема Бернулли: Относительная частота событий в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности p этого события в отдельном испытании:
Центральная
предельная теорема для одинаково
распределенных величин:
Если X1,X2
,...,Xn
– независимые случайные величины, у
которых существуют равные математические
ожидания M[Xi]=a,
дисперсии D[Xi]=a2
и абсолютные центральные моменты
третьего порядка M(|Xi-ai|3)=mi,
(
),
то закон распределения суммы Yn=X1+X2+...+Xn
при
неограниченно приближается к нормальному.
В частности, если все случайные величиныXi
одинаково распределены, то закон
распределения их суммы неограниченно
приближается к нормальному закону при
.
Локальная теорема Муавра-Лапласа: Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pm,n того, что событие A произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна
,
где
и
.
Pmin=Pn(m).
Интегральная теорема Муавра-Лапласа: Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна
,
где
–
функция (или интеграл вероятностей) Лапласа;
,
.
Цель занятия: 1. Добиться усвоения условий применения центральной предельной теоремы.
2. Закрепить навыки вычисления вероятностей, связанных с нормальным законом распределения.
3. Научить студентов распознавать проявление закона больших чисел.
К занятию по данной теме должны быть подготовлены ответы на следующие вопросы:
В чем сущность закона больших чисел?
Какое практическое и теоретическое значение имеет неравенство Чебышева?
Какое практическое значение имеет теорема Чебышева?
Объснить, пользуясь теоремой Бернулли, свойство устойчивости относительных частот.
В чем заключается сущность центральной предельной теоремы теории вероятностей?
Задача 1. Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а среднее квадратическое отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л, используя неравенство Чебышева.
Решение. Дисперсия D(X)=σ2≤2002. Так как границы интервала 0≤X≤2000 симметричны относительно математического ожидания М(Х)=1000, то для оценки вероятности искомого события можно применить неравенство Чебышева.
,
т.е. не менее, чем 0,96.
Задача 2. По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине).
Решение. Полагая n=1000, p=0,87, q=0,13, имеем
,
т.е. не менее, чем на 0,929.
Задача 3. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения ламп во всей партии не более, чем на 5 часов (по абсолютной величине), если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7 часов.
Решение. Пусть Xi – продолжительность горения электролампы, взятой из i-го ящика (ч). По условию дисперсия D(Xi)<72=49. Очевидно, что средняя продолжительность горения отобранных ламп равна (X1+X2+...+X200)/200, а средняя продолжительность горения ламп во всей партии (М(Х1)+М(Х2)+...+М(Х200))/200=(а1+а2+...+а200)/200.
Находим вероятность искомого события
,
т.е. не менее, чем 0,9902.
Задача 4. Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более, чем на 1 (по абсолютной величине), если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 5?
Решение. Пусть Xi – результат i-го измерения (i=1,2,...,n) – истинное значение величины, т.е. М(Хi)=a при любом i.
Необходимо найти n, при котором
.
Применим неравенство Чебышева:
,
откуда
и
при
,
т.е. потребуется не менее 500 измерений.
Задача 5. Поезда метро идут с интервалом 2 минуты. Каждый из пассажиров независимо от других приходит на платформу в случайный момент времени. В данный поезд село 75 пассажиров. Какова вероятность того, что их суммарное время ожидания будет заключено в границах от одного до двух с половиной часов?
Решение. Обозначим время ожидания i-го пассажира через Xi. Естественно предполагать что равновозможен приход пассажира в любой момент времени между поездами. Формально это означает, что Xi имеет равномерный закон распределения с функцией плотности вероятности
f(x)
=
Тогда
и
Суммарное время ожидания Y=∑ Xi представляет собой сумму большего числа независимых одинаково распределённых случайных величин с ограниченными дисперсиями. В силу центральной предельной теоремы можно утверждать, что Y имеет закон распределения близкий к нормальному. Нормальный закон распределения определяется математическим ожиданием и дисперсией. Подсчитаем их.
Итак, Y~ N(75,25). В задаче требуется вычислить
Задача 6. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,4, в девятку - с вероятностью 0,3, в восьмёрку - с вероятностью 0,2, в семёрку - с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что при 25 выстрелах стрелок из 250 очков выбьет от 220 до 240 очков?
Решение. Пусть при i-м выстреле стрелок набирает Xi очков. Величины Xi независимы и имеют одинаковое распределение
-
Xi
7
8
9
10
P
0,1
0,2
0,3
0,4
Причём M(Xi)=7·0,1 + 8 0,2 + 9 0,3 + 10 0,4 = 9, а
D(Xi) = (7- 9)2 0,1+(8 - 9)2 0,2 + (9 - 9)2 0,3 + (10 - 9)2 0,4 = 1.
Сумма
очков Y=
будучи суммой большого числа независимых
одинаково распределённых слагаемых с
ограниченными дисперсиями, имеет закон
распределения близкий к нормальному,
параметры которого
Окончательно Y~ N(225,25) и P(220<Y<240)≈Ф((240–225)/5)–-Ф((220–225)/5) = Ф(3)+Ф(1) = 0,4986 + 0,3413 = 0,8399 ≈ 0,84.
Задача 7. Восемьдесят процентов приборов после сборки нуждаются в регулировке. Какова вероятность того что среди 400 собранных за смену приборов в регулировке нуждаются: а) не менее 310? б) не более350? в) от304 до 336?
Решение. Сборку каждого прибора можно считать независимым испытанием с вероятностью появления события равной ρ = 0,8. Так как число опытов велико, можно использовать интегральную теорему Лапласа:
б)
в) P400(304;336) = Ф(2)+Ф(2) = 0,9545.
Задача 8. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) не менее 480; в) от 480 до 520.
Решение.
а) По условию p=0,5.
Так n=1000
достаточно велико, то применим локальную
формулу Муавра-Лапласа. Вначале определим
,
затем
.
б) Необходимо найти P1000=(m≥480)=P1000(480≤m≤1000). Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа, предварительно найдем
,
Теперь
.
в) Вероятность P1000(480≤m≤520) можно было найти по той же интегральной формуле Муавра-Лапласа. Но проще это сделать, заметив, что границы интервала симметричны относительно значения np=1000∙0,5=500:
.
Задача 9. В страховой компании 10 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной p=0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?
Решение. Размер прибыли компании составляет разность между суммарным взносом всех клиентов и суммарной страховой суммой, выплаченной n0 клиентам при наступлении страхового случая, т.е.
тыс. руб.
Для определения n0 применим интегральную формулу Муавра-Лапласа.
По условию задачи
,
где m – число клиентов, которым будет выплачена страховая сумма;
,
,
откуда
.
Из соотношения
.
при x2=1,645.
Теперь
иП=50(100- 61,6)=
=1920, т.е. с
надежностью 0,95 ожидаемая прибыль
составит 1,92 млн. руб.
Задача 10. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Определить вероятность того, что доля мальчиков среди 400 новорождённых будет отличаться от вероятности рождения мальчика не больше чем на 0,05 в ту или другую сторону.
Решение. Рождение ребенка можно рассматривать как независимое испытание с вероятностью “успеха” ρ=0,51. Тогда применяя формулу (*), получим:
Дополнительные задачи.
Задача 1. Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится в границах от 60 до 100 (включительно).
Решение. По условию вероятность того, что деталь бракованная, равна p=1-0,96=0,04. Число бракованных деталей X=m имеет биноминальный закон распределения, а его границы 60 и 100 симметричны относительно математического ожидания a=M(X)=np=2000∙0,04=80. Следовательно, оценку вероятности искомого события
можно найти, используя неравенство Чебышева:
,
т.е. не менее, чем 0,808.
Задача 2. Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более, чем на 1 (по абсолютной величине), если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 5?
Решение. Пусть Xi – результат i-го измерения (i=1,2,...,n) – истинное значение величины, т.е. М(Хi)=a при любом i.
Необходимо найти n, при котором
.
Применим неравенство Чебышева:
,
откуда
и
при
,
т.е. потребуется не менее 500 измерений.
Задача 3. При штамповке деталей 70% деталей выходит первым сортом, 20% - вторым и 10% - третьим. Определить, сколько нужно взять деталей, чтобы с вероятностью равной 0,997 можно было утверждать, что доля первосортных среди них будет отличатся от вероятности изготовления первосортной детали не больше чем на 0,05 в ту или другую сторону? Ответить на тот же вопрос, если процент первосортных деталей неизвестен.
Решение. Изготовление детали можно рассматривать как независимое испытание с вероятностью “успеха” ρ=0,7. Нужно подобрать такое число испытаний n, чтобы
По
таблице функции
находим такое значение аргумента, чтобы
2Ф(2,97)
= 0,997. Тогда
откудаn=741.
Если
процент первосортных изделий не известен,
то
Учитывая,
чтоp
q
1/4
и замену p
q
на 1/4
придется компенсировать некоторым
увеличением n,
получим
,
,
n
882.
Задача 4. Ошибка измерения распределена нормально N(0; 4мк2). Какова вероятность того, что при одном измерении ошибка не превысит 1мк? Для повышения точности измерения проделано 25 измерений, в качестве измеряемой величины взято среднее арифметическое наблюдаемых значений. Какова в этом случае вероятность того, что ошибка не превзойдет 1мк? (Указание: воспользоваться фактом устойчивости нормального закона распределения.) Определить последнюю вероятность, если закон распределения ошибки измерения неизвестен, а известна лишь ее дисперсия равная 4мк2.
Решение. Пусть Х – ошибка измерения. Тогда
Р(|
Х0
| <1) = 2Ф
= 0,3829.
Среднее арифметическое из 25 независимых измерений
имеет
и
.
Нормальный
закон устойчив, т.е. сумма независимых
нормально распределенных случайных
величин имеет нормальный закон
распределения. Поэтому
N(0,
).
Тогда
P(|
- 0 |<1)=
Ф
=
2Ф(2,5) = 0,988.
Если
закон распределения ошибки неизвестен,
то остается воспользоваться неравенством
Чебышева для получения грубой оценки:
Р(|
0| <1)
0,84.
Задача 5. В условиях предыдущей задачи определить, сколько нужно проделать независимых измерений, чтобы с вероятностью 0,9 быть уверенным, что отклонение среднего арифметического наблюдаемых значений отличается от истинного значения измеряемой величины не больше чем на 1мк? Ответить на этот вопрос в предположении, что закон распределения ошибки неизвестен и в предложении известного закона распределения.
Решение. Если закон распределения ошибки нормален, то число измерений n можно найти из соотношения
Р(|
0 | <1) =2Ф
,
так как D(
)
=
.
По
таблице функции Ф(·) находим, что 2Ф(1,65)
= 0,9. Откуда
и n>11.
Если закон распределения ошибки измерения неизвестен, то из неравенства Чебышева:
Р(|
0 | <1)
,
откуда n
Задача
6. Дана
последовательность случайных величин
Х
,Х
,…,
удовлетворяющих условиям:
Х
имеют
конечные вторые начальные моменты,
причем
М(X
)
<
для всех k
= 1,2, …
2) Каждая из случайных величин в последовательности зависит лишь от случайных величин с соседними номерами.
С помощью неравенств Чебышева оценить сверху вероятность
Решение. Так как
М
,
то согласно второму неравенству Чебышева в центрированной форме имеем
Задача 7. В одном из экспериментов Пирсона по моделированию на вычислительной машине опытов с подбрасыванием правильной монеты из общего числа 24000 подбрасываний герб выпал 12012 раз. а) Какова априорная вероятность получить данный результат? б) Сколь вероятно при повторении эксперимента получить такое же или еще большее отклонение относительной частоты успехов от вероятности успеха в одном опыте?
Решение.
Пусть Х
-
число выпадений герба при n
подбрасываниях
правильной монеты. По условию задачи n
= 24000, р=q=
1/2. Так как npq
= 6000>1, то
справедливы обе теоремы Муавра –
Лапласа.
а) По локальной теореме Муавра – Лапласа
б)
Случайная величина
Х
имеет смысл относительной частоты
успехов вn
опытах,
причем D
Так
как в опыте Пирсона было получено
отклонение относительной частоты
успехов от вероятности успеха в одном
опыте, равное
то
согласно интегральной теореме Муавра
– Лапласа
Домашнее задание.
Задача 1. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона – безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9 до 11% (включительно).
Задача 2. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,1 не более чем на 0,01 (по абсолютной величине).
Задача 3. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб. Найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб.: а) не менее 300; б) от 300 до 400 включительно.
Задача 4. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?
Задача 5. У страховой компании имеется 10000 клиентов. Каждый из них, страхуясь от несчастного случая, вносит 500 руб. Вероятность несчастного случая 0,0055, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 50000 руб. Какова вероятность того, что: а) страховая компания потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет более половины всех средств, поступивших от клиентов?
СМОЛЕНСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Г. С. ЕВДОКИМОВА
ПРАКТИКУМ
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКЕ
МОДУЛЬ 11