4. Нечеткие отношения.

Отношение - множество упорядоченных кортежей, в каждом из которых элемент принадлежит одному из множеств, т.е. соотношение «меньше» - множество пар (a,b), для которых a < b.

Нечеткое отношение - получаем нечеткое множество кортежей (пар). Каждой паре присваивается определенная степень принадлежности. Так же, как и в случае обычных множеств, мы имеем для 2 множеств бинарное нечеткое отношение, для k множеств - k-арное нечеткое отношение.

Если у нас пустое нечеткое отношение, то это отношение, функция принадлежности которой ≡ 0 (как и обычное отношение). Полное нечеткое отношение - декартово произведение.

Вообще на функцию принадлежности не накладывают никаких других ограничений, кроме того, что ее значение должны быть от 0 до 1. Как и в случае обыкновенного отношения, особое значение имеют бинарные нечеткие отношения, т.е. когда мы имеем множество пар и для каждого находим функцию принадлежности.

Чтобы описать нечеткие отношения в случае конкретного носителя (основы), отношение можно задавать перечислением, можно использовать нечеткий граф (нагруженный граф) или матрицу.

Носителем нечеткого отношения Q будем называть обычное отношение, содержащие только те кортежи, функция принадлежности для которых > 0.

Отношение α-уровня - множество кортежей для которых функция принадлежности > α.

Аналогично для нечеткого множества определяется понятие высоты нечеткого отношения как ТВГ.

Дав нечетких отношения буду равны если для любой пары их функции принадлежности равны.

Если значения функции принадлежности отношения Q строго больше значения функции принадлежности отношения R, то говорят, что R включено в Q. . Если и , то отношения являются несравнимыми.

По аналогии с нечеткими множествами можно ввести все операции на нечетких отношениях.

Есть 2 нечетких отношения Q и R. Q задано на декартовом произведении X₁ и X₂, а R - X₂ и X₃. Нечеткое отношение, заданное на X₁ * X₃, обозначается , функция принадлежности вычисляется по формуле:

наз. композицией отношений Q и R.

Можно рассмотреть и другую композицию, заменив min на “*”, а max - “+”. Тогда получится другая алгебра.

Бинарное отношение, заданное на X₁*X₂ наз. нечетким отображением, если сущ. не более 1 элемента такого, что .

Рефлексивное, если

Антирефлексивное, если

Симметричное, если

Ассиметричное, если , т.е. хотя бы одна пара не принадлежит отношению.

Транзитивное, если

Сильно полным, если

Слабо полным, если

5. Нечеткая и лингвистическая переменные.

При описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств используется понятие нечеткой и лингвистической переменных.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой <, X, A>, где

•  - название переменной,

• X - универсальное множество (область определения ),

• A - нечеткое множество на X, описывающее ограничение (то есть  A(x)) на значение нечеткой переменной .

Лингвистической переменной называется набор < β ,T,X,G,M>, где

• β - название лингвистической переменной;

• Т - множество его термов (значений), представляющее имена нечетких переменных;

• X - область определения нечетких переменных, которая входит в T.

• G - синтаксическая процедура, описывающая процесс образования из множества T новых значений лингвистической переменной;

• М - семантическая процедура, позволяющая поставить в соответствие каждому новому получаемому значению некоторое описательное содержание.

Во избежание большого количества символов:

• символ β используют как для названия самой переменной, так и для всех его значений;

• для обозначения нечеткого множества и его названия пользуются одним символом, например, терм "молодой", является значением лингвистической переменной β = "возраст", и одновременно нечетким множеством М ("молодой").

Присваивание нескольких значений символам предполагает, что контекст допускает неопределенности.

Нечеткая величина – произвольное нечеткое множество, заданное на множестве действительных чисел, то есть функция принадлежности которого есть отображение множества R в интервале [0;1] (M(x): R → [0;1]).

Наибольший интерес имеет конкретизация нечетких величин в форме нечетких чисел и нечетких интервалов.

Нечеткий интервал – некая величина с выпуклой функцией принадлежности.

Нечеткое число – нечеткая величина, функция принадлежности которой выпукла и унимодальна. Как и в случае обычных чисел и интервалов, число – частный случай интервала. Нечеткое число, как и нечеткий интервал, частные случаи нечеткого множества, поэтому для них справедливы все свойства и операции, которые определены для нечетких множеств.