частные произв
.doc3. Частные производные и дифференциалы высших порядков
3.1 Частные производные высших порядков
Частные производные называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции в свою очередь могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они обозначаются следующим образом:.
Аналогично определяются частные производные 2-го и 3-го и т.д. порядков.
Так и т.д.
Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным называется смешанной частной производной
Теорема 2
Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны:
Следствие
Смешанные производные высших порядков равны, если непрерывны и получены по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательности.
3.2 Дифференциалы высших порядков
Заметим, что для функции нескольких переменных справедливы те же общие правила дифференцирования, что и для функции одной переменной.
Пусть , тогда
Например, имеем:
Пусть имеется функция независимых переменных и , обладающая непрерывными частными производными второго порядка. Рассмотрим её полный дифференциал
(1)
( и – произвольные приращения), который назовем полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом).
Так как и по предположению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции , в свою очередь, можно взять полный дифференциал . Так получим полный дифференциал второго порядка (или кратко второй дифференциал), который обозначается . И т.д.
Найдем выражение для второго дифференциала
(2)
(здесь ).
Формула (2) обобщается на случай дифференциала -го порядка.
3.Формула Тейлора для функции двух переменных
Пусть имеется функция независимых переменных и , имеющая непрерывные частные производные всех порядков до -го включительно в некоторой окрестности точки . Пусть точка принадлежит этой окрестности. Определим на отрезке вспомогательную функцию :
, (3)
где . Согласно формуле Тейлора, имеем:
(4)
Вычислим коэффициенты формула (4) с помощью равенства (3). При имеем . Дифференцируя сложную функцию по получим:
,
Заменив в последнем равенстве на , а в остальных положим , найдем:
Если подставим найденные выражения в равенство (4) и затем положим , то получим для формулу Тейлора: