- •7.Понятие функции нескольких переменных:
- •8.Частные производные функции нескольких переменных:
- •9.Экстремум функции нескольких переменных:
- •11. Первообразная ф-ии. Св-ва ∫. Таблица
- •12. Замена переменной в неопред-ом интеграле.
- •13. Интегрирование простых дробей
- •14. Интегрирование рациональных дробей
- •15. Интегрирование некоторых иррациональных ф-ий
- •17. Геометрическая задача. Определение опред-ого интеграла.
- •18. Свойства определённых ∫-ов.
- •19. Теорема о существовании первообразной для непрерывной ф-ии. Теорема Ньютона-Лейбница
- •20. Замена переменной и интегрирование по частям в опред-ом интеграле.
- •30. Понятие числового ряда и суммы ряда. Геометрическая прогрессия
- •36. Степенной ряд.Обл-ть сх-ти ст-ого ряда
- •38. Ряды Тейлора и Маклорена:
- •6.Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции:
- •21. Площадь плоских фигур:
- •24. Дифференциальные уравнения:
1.
Теорема Ролля:
Пусть задана функция у=f(x), удовлетворяющая следующим условиям:
- Определена и непрерывна на [а,в];
- Дифференцируема на (а,в);
- Имеет равные значения на концах отрезка: f(a)=f(в)
Тогда найдется такая т. с (a<c<в), что выполняется равенство f’(c)=0.
Теорема Лагранжа:
Пусть задана функция у=f(x), удовлетворяющая первым двум условиям теоремы Ролля, тогда существует т. с (a<c<в), что выполняется равенство (f(в)-f(a))/(в-а)=f’(c).
Теорема Коши:
Пусть заданы функции f(x) и g(x), удовлетворяющие условиям:
- Определены и непрерывны на [а,в];
- Существуют производные f’(x) и g’(x) на (а,в);
- G’(x) не равно 0.
Тогда найдется такая т. с (a<c<в), что выполняется равенство (f(c)-f(a))/(g(в)-g(a))=f’(c)/g’(c).
2.
Теорема (необходимое и достаточное условие постоянства функции):
Пусть у=f(х) определена и непрерывна на множестве Х и внутри этого множества имеет конечную производную f’(x), на границе множества сохраняет непрерывность, если принадлежит Х.
Для того, чтобы f(x) была const на множестве Х, необходимо, чтобы f’(x)=0 внутри множества Х.
Достаточные условия возрастания и убывания функции:
Для того, чтобы f(x) была возрастающей (убывающей), достаточно чтобы f’(x)>0 (f’(x)<0) для всех х, принадлежащих множеству Х.
3.
1ое достаточное условие экстремума функции:
Пусть х0 – критическая точка 1ого рода. Предположим, что у=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности (х0-δ,х0+δ) и f’(x) сохраняет свой знак слева и справа от х0.
Значит: если при переходе через х0 f’(x) меняет знак с + на -, то в т. х0 f(x) имеет максимум, если с – на +, то минимум, если знак не меняется, то х0 не является экстремумом.
2ое достаточное условие экстремума функции:
Пусть х0 – стационарная точкам, в которой f(x) дважды дифференцируема, тогда если f”(х)<0, то х0 – максимум, f”(х)>0, то х0 – минимум (если равно 0, то не работает).
4.______
Пусть у=f(x) дифференцируема на (а,в), графиком ее является некоторая кривая.
Выпуклость кривой:Кривая у=f(x) называется выпуклой на (а,в), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.
Вогнутость кривой:Кривая у=f(x) называется вогнутой на (а,в), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.
Точки перегиба:Точки, в которых выпуклость сменяется на вогнутость и наоборот, называются точками перегиба.
Теорема (достаточное условие выпуклости/вогнутости):
Пусть у=f(x) дважды дифференцируема на промежутке (а,в), тогда:
Если на (а,в) f”(x)>0, то кривая вогнутая;
Если на (а,в) f”(x)<0, то кривая выпуклая.
Теорема (достаточное условие перегиба):
Пусть х0 – критическая точка 2ого рода, тогда:
Если при переходе через т. х0 f” меняет знак с + на -, то х0 – т. перегиб
Если с – на +, то выпуклость на вогнутость.
7.Понятие функции нескольких переменных:
Рассмотрим множество D, состоящее из пар действительных чисел (х,у). Любую пару чисел можно изобразить на плоскости точкой.
Если каждой паре действительных чисел соответствует одно определенное число z€Z, то говорят, что на множестве D задана функция z=f(x,y) со значениями во множестве Z.
Функцию z=f(x,y) называют функцией двух переменных, а переменные х и у – независимыми переменными.
Определение предела и непрерывности функции двух переменных:
Пусть функция f(x,y) определена внутри некоторой окрестности точки (х0,у0) кроме, может быть, самой точки.
Число А называется пределом функции z=f(x,y) в точке М0 (х0,у0), если для любой последовательности точек {(xn,yn)} области определения функции, отличных от (х0,у0) и сходящихся к (х0,у0), последовательность значений функции {(xn,yn)} сходится к А:
=A.
Если =f(х0,у0), то функция f(x,y) называется непрерывной в точке (х0,у0).
8.Частные производные функции нескольких переменных:
Если существует предел
,
то он называется частной производной функции z по х в точке и обозначается символами или
.
Аналогично определяется частная производная по у: ==
Полный дифференциал функции нескольких переменных:
Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется выражение вида dz = (x,y)dx + (x,y)dy, где dx=∆х, dy=∆у.
Является суммой частных дифференциалов.
9.Экстремум функции нескольких переменных:
Функция z=f(x,y) имеет в точке М0 (х0,у0) максимум (минимум) f(х0,у0), если вблизи этой точки для всех точек М, отличных от М0, выполняется условие:
- f(x,y)< f(х0,у0) – max
- f(x,y)>f(х0,у0) – min
Необходимые условия экстремумов:
Если точка (х0,у0) – точка экстремума функции z=f(x,y) и в ней существуют обе частные производные, то производные в точке (х0,у0) равны нулю.
=0 =0
10.Ф-лы , которые служат для предоставления опытных данных называются эмпирическими. В большинстве случаев хар-р зависимости между переменными предполагается известным и остаётся только опред-ть пар-ры самой ф-лы.
Получаемая система назв. «нормальной системой выравнивание эмпирических данных» по методу наим. квадратов вдоль прямой. Решая эту систему получаем значение параметров a и b, при кот. ф-я Ф’ab достигает минимума и прямая y=kx+b будет проведена наилучшим образом. Проведем группировку относительно a,b,c.
получ. сист. наз. «норм. сист. выравн. эмпирич. Данных по методу наим. квадр. вдоль параболы».
Решая ее получаем значение a,b,c, которые доставляют минимум ф-и Ф от a,b,c, и для которых парабола y=ax2+bx+c будет проведена и наилучшим образом.
Аналогичным способом могут быть установл. и др. виды зависимости между данными эмпирического поля.
11. Первообразная ф-ии. Св-ва ∫. Таблица
Опред-ие 1:Ф-ия F(x)-первообразная для ф-ии f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется рав-во F’(x)= f(x)
Опред-ие 2: Семейство всех п-ых для ф-ии f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом от ф-ии f(x) на это промежутке и обозначается
∫ f(x)dx=F(x)+c
Иначе неопределенный интеграл от ф-и это совокупность всех первообр. для этой функции.
Свойствa: 1.производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной ф-и, которая явл. критерием правильности вычисления неопр. интеграла. (∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’=f(x)
2. Неопр. интеграл от алгебраической суммы двух или более ф-й равен алгебр. cумме неопр. интегралов от этих ф-й. ∫=∫1+∫2
3. Постоянный множитель можно вынести за знак неопр. интеграла. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
Таблица основных интегралов: