- •Содержание
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- •3.4. Гипербола
- •3.5. Парабола
- •3.6. Поверхность и линия в пространстве. Плоскость
- •3.7 Уравнения прямой в пространстве
- •3.9. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.10. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к главам 4, 5
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теоремы о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •Задания к главе 1
- •Задания к главе 2
- •Задания к главе 3
- •Задания к главам 4,5
- •Задания к главам 6,7
- •Ответы
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Литература
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет»
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
для студентов экономических специальностей вузов
В двух частях
Часть I
Минск 2014
УДК 51(075.3)
ББК
Печатается в авторской редакции
А в т о р ы: А.В. Конюх, В.В. Косьянчук, С.В. Майоровская, О.Н. Поддубная, Е.И. Шилкина
Р е ц е н з е н т ы: доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики БГТУ В.М. Марченко; доктор физико-математических наук, профессор, заведующий ка-
федрой И.В. Белько
Р е к о м е н д о в а н о кафедрой высшей математики
У т в е р ж д е н о Редакционно-издательским советом университета
Сборник задач и упражнений по высшей математике : в 2 ч. Ч. 1 / А.В. Конюх, В.В. Косьянчук, С.В. Майоровская, О.Н. Поддубная, Е.И. Шилкина, – Минск : БГЭУ, 2014. – 299 с.
ISBN
УДК 51(075.3)
ББК
©Коллектив авторов, 2014
©УО «Белорусский государственный экономический университет», 2014
ISBN
|
Содержание |
|
Предисловие -------------------------------------------------------------------------- |
5 |
|
Раздел I. |
Элементы линейной и векторной алгебры. Основы |
|
|
аналитической геометрии --------------------------------------- |
6 |
Глава 1. |
Элементы линейной алгебры ------------------------------------- |
6 |
1.1. |
Матрицы и операции над ними-------------------------------------- |
6 |
1.2. |
Определители квадратных матриц и их свойства. Правило |
|
|
Крамера решения систем линейных уравнений ----------------- |
12 |
1.3. |
Обратная матрица. Решение матричных уравнений ------------ |
21 |
1.4. |
Ранг матрицы ----------------------------------------------------------- |
29 |
1.5. |
Система m линейных уравнений с п неизвестными ------------ |
34 |
1.6. |
Система линейных однородных уравнений. Фундаменталь- |
|
|
ная система решений -------------------------------------------------- |
44 |
1.7. |
Контрольные задания к главе 1 -------------------------------------- |
46 |
Глава 2. |
Элементы векторной алгебры ------------------------------------ |
54 |
2.1. |
Векторы на плоскости и в пространстве -------------------------- |
54 |
2.2. |
Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов |
59 |
2.3. |
Векторное и смешанное произведения векторов ---------------- |
63 |
2.4. |
Векторное пространство Rn . Ранг и базис системы векторов |
67 |
2.5. |
Задачи с экономическим содержанием к главам 1,2 ------------ |
71 |
2.6. |
Контрольные задания к главе 2 ------------------------------------- |
76 |
Глава 3. |
Основы аналитической геометрии ------------------------------ |
83 |
3.1. |
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости |
83 |
3.2. |
Прямая линия на плоскости ------------------------------------------ |
91 |
3.3. |
Кривые второго порядка, заданные каноническими уравне- |
|
|
ниями. Эллипс ---------------------------------------------------------- |
102 |
3.4. |
Гипербола ---------------------------------------------------------------- |
113 |
3.5. |
Парабола ----------------------------------------------------------------- |
122 |
3.6. |
Поверхность и линия в пространстве. Плоскость --------------- |
127 |
3.7. |
Прямая линия в пространстве --------------------------------------- |
135 |
3.8. |
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве |
143 |
3.9. |
Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества ---------------- |
150 |
3.6. |
Контрольные задания к главе 3 -------------------------------------- |
155 |
Раздел II. |
Введение в математический анализ -------------------------- |
160 |
Глава 4. |
Функция одной переменной --------------------------------------- |
160 |
4.1. |
Функциональная зависимость и способы ее представления |
160 |
4.2. |
Элементарные функции. Преобразование графиков функций |
168 |
3
Глава 5. |
Пределы и непрерывность ----------------------------------------- |
172 |
5.1. |
Числовая последовательность --------------------------------------- |
172 |
5.2. |
Предел последовательности ----------------------------------------- |
176 |
5.3. |
Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей |
183 |
5.4. |
Замечательные пределы ---------------------------------------------- |
190 |
5.5. |
Сравнение бесконечно малых --------------------------------------- |
195 |
5.6. |
Односторонние пределы ---------------------------------------------- |
199 |
5.7. |
Непрерывность и точки разрыва функции ------------------------ |
202 |
5.8. |
Контрольные задания к разделу II ---------------------------------- |
210 |
Раздел III. Дифференциальное исчисление функции одной пере- |
|
|
|
менной ----------------------------------------------------------------- |
612 |
Глава 6. |
Производная и дифференциал ------------------------------------ |
215 |
6.1. |
Определение производной. Правила дифференцирования----- |
215 |
6.2. |
Производная сложной функции-------------------------------------- |
219 |
6.3. |
Логарифмическая производная и производная неявной |
|
|
функции------------------------------------------------------------------- |
221 |
6.4. |
Геометрический и механический смысл производной. Про- |
|
|
изводные высших порядков ------------------------------------------ |
223 |
6.5. |
Дифференциал функции. Применение дифференциала к |
|
|
приближенным вычислениям ---------------------------------------- |
226 |
6.6. |
Контрольные задания к главе 6 -------------------------------------- |
229 |
Глава 7. |
Приложения производной ------------------------------------------ |
233 |
7.1. |
Теорема о среднем значении. Формула Тейлора ---------------- |
233 |
7.2. |
Правило Лопиталя-Бернулли ---------------------------------------- |
235 |
7.3. |
Интервалы монотонности и экстремумы функции. |
|
|
Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке ------ |
237 |
7.4. |
Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба |
241 |
7.5. |
Асимптоты. Построение графиков функций --------------------- |
243 |
7.6. |
Применение производной в задачах с экономическим со- |
|
|
держанием --------------------------------------------------------------- |
246 |
7.7. |
Контрольные задания к главе 7 ------------------------------------- |
250 |
|
Примерные варианты тестовых заданий ---------------------- |
254 |
|
Задания к главе 1 ------------------------------------------------------- |
254 |
|
Задания к главе 2 ------------------------------------------------------- |
258 |
|
Задания к главе 3 ------------------------------------------------------- |
260 |
|
Задания к главам 4,5 --------------------------------------------------- |
267 |
|
Задания к главам 6,7 --------------------------------------------------- |
271 |
О т в е т ы |
------------------------------------------------------------------------------ |
274 |
Л и т е р а т у р а --------------------------------------------------------------------- |
299 |
4
П Р Е Д И С Л О В И Е
Для успешного и глубокого усвоения курса высшей математики, служащего фундаментом экономического образования, необходимы не только учебники и справочники по соответствующим разделам, но и сборники задач, позволяющие студентам на практике применить изучаемый теоретический материал и приобрести прочные навыки использования основных математических методов.
При подготовке сборника авторы исходили из того, что самой эффективной формой изучения высшей математики является самостоятельная работа студентов при надлежащем контроле со стороны преподавателей. Каждый параграф содержит краткие сведения из теории, носящие справочный характер, и достаточно большое число решенных примеров для иллюстрации наиболее рациональных методов их решения. В ко нце каждой главы даны контрольные задания, что облегчает использование этого сборника преподавателями. В приложении в конце книги также содержатся варианты тестовых заданий для контроля усвоения студентами учебного материала. Для усиления прикладной экономической направленности курса высшей математики в сборнике приведено достаточно большое количество задач экономического содержания.
Материал сборника подготовлен сотрудниками кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета: гл. 1 написана доцентом, к.ф.-м.н. Е.И. Шилкиной; гл. 2 – доцентом, к.ф.-м.н. А.В. Конюхом; гл. 3 – доцентом, к.ф.-м.н. О.Н. Поддубной; гл.4–5 – доцентом, к.ф.-м. н. С.В. Майоровской; гл. 6 – 7 – доцентом, к.ф.-м. н. В.В. Косьянчуком.
Задачник может быть использован студентами экономических специальностей различных вузов всех форм обучения.
Авторы будут благодарны за все замечания и предложения по улучшению данного сборника.
5