- •1.Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды көбейту формуласы.
- •2.Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формулалары.
- •3. Кездейсоқ шамалар.
- •4. Кездейсоқ шаманың үлестірім заңы мен
- •Үлестірім
- •Үлестірім функциясы. Қасиеттері
- •Үлестірім қасиеттері
- •5. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар.
- •Дискрет кездейсоқ шаманың математикалық күтімі
- •Абсолют үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық күтімі
«Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» пәні
-
Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды көбейту формуласы.
-
Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формулалары.
-
Кездейсоқ шамалар.
-
Кездейсоқ шаманың үлестірім заңы мен функциясы.
-
Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар.
Кездейсоқ шаманың математикалық күтімі мен дисперсиясы. Қасиеттері.
1.Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды көбейту формуласы.
Сынақ жүргізу барысында қандай да бір А оқиғасының болуына В оқығасының болуы қалай әсер ететіні туралы сұрақ туындайды. Осы екі оқиғаның арасындағы байланысқа қарапайым мысалдар: В оқиғасының болуы А оқиғасының болуына міндетті түрде алып келеді немесе В оқиғасының болуы А оқиғасының болмауына алып келеді. Ықтималдықтар теориясында А және В оқиғаларының арасындағы байланыс шартты ықтималдық ретінде сипатталады. Ол P(A|B) А оқиғасы В оқиғасы орындалған кезде:
P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)
Анықтама: - қандайда бір ықтималдық кеңістік . А,В – оқиғалар, .
В орындалады деп ұйғарғандағы А оқиғасының шартты ықтималдығы деп санын айтады және оны деп белгілейді .
Шартты ықтималдық қарапайым ықтималдық қасиеттерінің бәріне ие:
-
Егер ,
-
Егер ,
-
Егер А қиылыспайтын А1 , А2 , А3... оқиғалардың бірігуі болса,
онда
1-мысал. Қызыл және қара түсті екі ойын сүйегі бір мезгілде лақтырылады.
а) түсетін ұпайлардың қосындысы 8 болу ықтималдығын табу керек
б) қызыл сүйекте жұп ұпай түседі деп есептеп, түсетін ұпайлардың қосындысы 8 болу ықтималдығын қайта есепте Шешуі:
А) - қызылда , - қарада түскен ұпай
6, , Ықтималдықтың классикалық анықтамасын қолданамыз
б) , , , , , - В оқиғасы орындалады деп ұйғарғандағы А оқиғасының
шартты ықтималдығы деп аталады Мұндағы А оқиғасының а) пунктіндегі есептелген ықтималдығы шартсыз ықтималдық деп аталады , ал б) пунктіндегі есептелген ықтималдығы шартты ықтималдық деп аталады .Ықтималдықтарды көбейту формуласы
(1)-ден
Сол сияқты
Бұл формулалар екі оқиға үшін ықтималдықты көбейту формулалары деп аталады. А,В,С- үш оқиға үшін ықтималдықты көбейту формулаласы
болады.
- оқиғалары үшін ықтималдықты көбейту формулаласы
2.Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формулалары.
Анықтама: - ықтималдық кеңістік . А – оқиғасы берілген .
Онда 1)
2)ø
шарттарын қанағаттандыратын үшін
(1)
теңдеуі орындалады.(1)- толық ықтималдықтар формуласы .
Жоғарыдағы шарттар орындалғанда (1) формуласымен қатар келесі формулада орындалады
(2)
(2) – Байес формуласы .
Есептер шығарғанда сынақ және А оқиғасы есептің шарттарында беріледі. гипотезаларын сынақтың берілгеніне қарай өзіміз таңдаймыз.
1-мысал.
25 емтихан билеттерінің бесеуі “жақсы ” . Екі студент бір-бір билеттен алады. Екінші студенттің “жақсы ” билет алу ықтималдығын табу керек.
Шешуі: Сынақ- екі студенттің бірінен соң бірі бір-бір билеттен алуы .
Оқиға- А={екінші студенттің “жақсы ” билет алуы }
Гипотезалар ( көмекші оқиғалар ):
={бірінші студенттің “жақсы ” билет алуы }
={ бірінші студенттің “жақсы ” билет алмауы }
- ?
Бұларды толық ықтималдықтар формуласына қоямыз .
, , ,
2-мысал.
Жоғарыдағы сынақта екінші студенттің “жақсы ” билет алғаны белгілі болса, бірінші студенттің “жақсы ” билет алу ықтималдығы.
Шешуі: Байес формуласы бойынша шығады