Физика 2-3
.pdf1
Проф. А.Н. Власов. Материалы лекций по курсу «ОБЩАЯ ФИЗИКА», 2016
Часть 2. Электричество и магнетизм.
Лекция № 3
Тема лекции:
Расчёты в электростатике
План:
1.Электростатическая теорема Остроградского-Гаусса………………………1
2.Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа………………………………….7
3.Пример 1. Сферический объёмный заряд……….…………………………..9
4.Пример 2. Проводник в электростатическом поле…………….…………..13
5.Поле в присутствие проводника………………...……………….………….20
1.ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА
Теорема Гаусса—Остроградского для электростатики может быть сформулирована следующим образом:
«Поток
E
вектора напряженности
E
электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность S в однородной изотропной
и линейной среде пропорционален электрическому заряду q , заключенному внутри поверхности».
В системе СИ коэффициент пропорциональности равен 1 0 .
1
2
В интегральной форме теорема ОстроградскогоГаусса может быть представлена в виде:
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
, |
(1) |
|
E,dS |
|
||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Эта теорема играет важную теоретическую и практическую роль в электростатике.
Доказательство теоремы.
Рассмотрим вначале частный случай, когда внутри замкнутой поверхности S находится один точечный заряд q (рис. 1).
Рис. 1
Рассмотрим малый элемент поверхности, характе-
|
|
|
|
|
|
ризуемый вектором |
dS |
. Расстояние между зарядом q и |
|||
этим элементом |
обозначим |
r , а |
напряженность, |
||
|
|
|
|
|
|
создаваемую зарядом |
на элементе, |
обозначим |
E . |
Построим конус с малым телесным углом |
d , вершина |
которого находится в точке расположения заряда и
который |
пересекается |
с замкнутой |
поверхностью по |
|||
|
|
|
|
|
|
|
контуру, |
ограничивающему |
элемент |
dS . |
Поток |
||
|
|
|
|
|
|
|
напряженности через |
элемент |
dS |
выразится |
соот- |
ношением:
2
d E
|
|
|
q |
|
E,dS |
4 |
|
||
|
|
|
|
0 |
dS cos |
q |
|
|
4 |
|
||
|
|||
|
|
0 |
dS r2
,
3
(2)
где |
dS |
|
dS |
|
плоскость
Вследствие
cos – площадь проекции элемента dS на |
||||
S |
|
перпендикулярную |
к оси конуса. |
|
|
||||
малости телесного угла |
d |
отношение |
dS |
r |
2 |
|
с точностью до величин второго порядка малости
дает величину этого угла, т.е.
dS |
|
r |
2 |
. |
(3) |
|
|
||||||
|
|
|||||
Поэтому из (2) и (3) следует |
|
|
|
|
||
d E |
|
q |
|
|
d . |
(4) |
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
Чтобы получить поток через всю замкнутую поверхность S, надо проинтегрировать (4) по телесному
углу всего пространства, равному 4 |
стерадиан. Для |
однородной линейной и изотропной среды const , и |
результат интегрирования дает:
(5)
Результат (5) может быть обобщён на случай произвольной системы зарядов внутри замкнутой поверхности S.
Исходя из принципа суперпозиции (См. предыдущ. лек.) любую систему зарядов можно представить в виде совокупности точечных зарядов. Для каждого из них имеет место соотношение (5), из чего с учётом (2) следует:
(6)
3
4
Просуммируем соотношение (6) по всем зарядам:
Ei ,dS Ei ,dS 1 |
qi |
|
(7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
S |
|
S i |
|
|
0 |
i |
|
|
Для |
линейных |
сред |
сумма |
под |
интегралом |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дает результирующую |
напряженность |
поля |
E , |
созданного в точках поверхности S всеми зарядами:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ei ,dS |
|
Ei ,dS |
E,dS |
. |
||||||
S |
i |
|
S |
i |
|
S |
|
|
|
(8)
Сумма зарядов представляет собой полный заряд
внутри поверхности. |
|
qi q |
(9) |
i |
|
На основании (6), (7), (8) и (9) получаем (1), что и требовалось доказать.
Если заряд находится вне замкнутой поверхности,
то интеграл в выражении (5) равен нулю.
Следовательно, поток ФЕ, создаваемый внешним зарядом q через любую замкнутую поверхность, равен
нулю.
Получим дифференциальную форму теоремы.
Рассмотрим электрическое поле, создаваемое непрерывным распределением заряда с объемной плотностью q . В окрестности произвольной точки
рассмотрим малую замкнутую поверхность |
S , |
ограничивающую объем V и содержащую в себе заряд
4
q
.
5
Применим к этой поверхности теорему
Остроградского-Гаусса в интегральной форме (1):
|
|
|
|
q |
|
|
E,dS |
|
|
. |
|||
|
||||||
S |
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
(10)
Разделим обе части пределу при стремлении
|
|
|
|
|
E,dS |
||
lim |
S |
|
|
V |
|
|
|
V 0 |
|
|
(2.49) |
на |
V |
|||
V к нулю: |
|
||||
|
1 |
lim |
q |
. |
|
|
|
V |
|||
|
V 0 |
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
и перейдем к
(11)
С учётом определения дивергенции (См. л. 1, ф. 2) и определения плотности заряда (См. л. 2, ф. 1) формула (11) может быть приведена к выражению, которое называют «дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса»:
|
|
|
|
div E |
q |
. |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
Иногда (12) называют теоремой Гаусса в локальной форме.
(12)
Остроградского-
Физический смысл электростатической теоремы Остроградского-Гаусса состоит в том, что она выражает закон создания электрических полей действием
неподвижных электрических зарядов в однородных линейных и изотропных средах.
В интегральной форме теоремы этот закон выражен применительно к замкнутой поверхности конечных размеров, в дифференциальной форме — применительно к точке. Например, в правой части (12) стоит величинаq x, y, z , характеризующая распределение заряда в
5
6
пространстве, а в левой части стоит дивергенция напряженности того электрического поля, которое создано этим зарядом.
Практический аспект теоремы ОстроградскогоГаусса состоит в том, что с ее помощью рассчитываются электростатические поля, создаваемые симметричными распределениями зарядов. В таких полях для применения теоремы в интегральной форме (1) могут быть выбраны замкнутые поверхности, на которых интеграл в (1) превращается в произведение:
(13)
где
S
— площадь той части поверхности, которая
пронизывается полем. Для этого надо, чтобы во всех точках этой части вектор напряженности был перпендикулярен к поверхности и имел одинаковую величину.
6
7
2. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА И УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
Для расчета электростатических полей принято теорему Остроградского-Гаусса в локальной форме (12) представлять в виде дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, записанного относительно потенциала . Это уравнение, называемое
уравнением Пуассона, получается подстановкой
соотношения в (12) соотношения
E
grad
:
|
|
|
div E div grad |
q |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
.
(14)
где
Воспользуемся соотношением векторного анализа |
|
div grad , |
(15) |
– оператор Лапласа (См. л. 1). |
|
Из (12), (14) и (15) вытекает
Пуассона:
|
|
|
|
|
q |
, |
|
|
|||
|
|
||
|
0 |
|
уравнение
(16)
Впрямоугольных декартовых координатах
уравнение Пуассона имеет
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
вид:
q
0
.
(17)
Уравнение Пуассона считается основным дифференциальным уравнением электростатики.
Если заряд распределен с плотностью q в ограниченной области V однородной изотропной среды,
7
8
то решение уравнения Пуассона можно представить в виде (См. ф.7, л.3).
(18)
Далее вычисляются составляющие вектора E
(19)
и вектор
(20)
При заданных граничных условиях решение уравнения Пуассона является единственным и согласуется с результатами экспериментальных исследований электростатического поля.
Уравнение Лапласа является частным видом
уравнения Пуассона при |
q 0 |
: |
0 |
(21) |
В прямоугольных декартовых координатах уравнение
Лапласа имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
0 . |
(17) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
8
9
3. Пример 1. СФЕРИЧЕСКИЙ ОБЪЁМНЫЙ ЗАРЯД
Дана сферическая область пространства радиуса R, равномерно заряженная с объемной плотностью
заряда |
q |
, рис. 2. Предполагая линейность, |
однородность и изотропность свойств среды.
Требуется найти напряженность и потенциал электрического поля внутри области и вне ее.
Рис. 2
Заданное распределение заряда создает поле сферической симметрии, характеристики которого
зависят только от радиальной координаты |
r . Силовые |
||
линии |
представлены |
радиальными |
прямыми, |
исходящими из центра симметрии. |
|
Для решения задачи будем использовать теорему Гаусса—Остроградского. В этом случае во внутренней области (заштрихованная область 1 на рис.2) выбираем вспомогательную поверхность в виде сферы радиуса r , меньшего, чем радиус заряженной области, т. е. r R.
Заметим, что в силу симметрии вектор напряженности во всех точках этой сферы
9
10
перпендикулярен к ней и одинаков по величине.
Поэтому |
|
|
|
|
E S E 4 r 2 . |
|
|
E, dS |
(18) |
S
Для заряда внутри получим:
q qV
вспомогательной
q |
4 |
r |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
сферы
(19)
Подставляя (18) и (19) в (1), получаем теорему Остроградского-Гаусса применительно к выбранной поверхности:
Откуда получаем области:
E
(20)
напряженность внутри заряженной
|
|
r |
|
|
|
|
|
q |
|
, |
r R . |
(21) |
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
Для решения задачи относительно внешней области (область 2 на рис. 1) радиус вспомогательной сферы должен быть больше радиуса области, т. е. r R . Особенность внешней области в том, что при любом r R заряд внутри вспомогательной сферы один и тот же, он равен полному заряду области:
q |
|
|
4 |
|
|
q |
3 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
R |
3 |
|
.
(22)
Поэтому выражение (1), соответствующее теореме Остроградского-Гаусса, приобретает с учётом (18) и (22) вид:
E 4 r2 |
1 |
|
|
|
4 |
R3 |
, |
(23) |
|
|
q |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
откуда получаем решение для внешней области:
10