- •1. Цель работы
- •2. Выбор математического метода решения задачи
- •2.1. Рекомендации по аппроксимации методом наименьших квадратов Постановка задачи
- •Применим операцию дифференцирования (2.8) к параметру с1 :
- •2.2. Методика решения нормальных уравнений
- •Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
- •Используя во втором уравнении системы (2.24) найденное первое приближение корня х1 и нулевые приближения остальных корней, получим первое приближение корня х2
- •3. Рекомендации по содержанию и порядку выполнения работы
- •Контрольные расчеты параметров аппроксимирующей функции
- •4. Условия минимума критерия аппроксимации и формирование нормальных уравнений.
- •А. Метод Гаусса:
- •Б. Метод обратной матрицы:
- •5. Содержание пояснительной записки
- •6. Варианты курсовой работы
- •Библиографический список
- •Содержание
- 1 -
1. Цель работы
Настоящая курсовая работа является завершающим этапом дисциплины “Программирование на языке высокого уровня” и требует от студента в процессе ее выполнения:
а) практического освоения типовых вычислительных методов прикладной математики;
б) совершенствования навыков разработки алгоритмов и построения программ на языке высокого уровня;
в) освоения принципов модульного программирования и техники использования подпрограмм;
г) исследования нескольких вариантов решения предложенного задания и выбора лучшего варианта по заданному критерию.
Практическое выполнение курсовой работы предполагает решение типовых инженерных задач обработки данных с использованием методов матричной алгебры, решение систем линейных алгебраических уравнений. Навыки, приобретаемые в процессе выполнения курсовой работы, являются основой для использования вычислительных методов прикладной математики и техники программирования в процессе изучения всех последующих дисциплин, а также при выполнении курсовых и дипломных проектов.
2. Выбор математического метода решения задачи
2.1. Рекомендации по аппроксимации методом наименьших квадратов Постановка задачи
При изучении зависимостей между величинами важной задачей является приближенное представление (аппроксимация) этих зависимостей с помощью известных функций или их комбинаций, подобранных надлежащим образом. Подход к такой задаче и конкретный метод ее решения определяются выбором используемого критерия качества приближения и формой представления исходных данных.
Пусть изучается связь между величинами и , из которых первая рассматривается в качестве независимой переменной, а вторая - ее функции. Исходные данные представлены значениями , заданными на некотором множестве значений X. Тогда ошибка приближения этой зависимости некоторой аппроксимирующей функции y = (x) для каждого из значений X может быть оценена разностью
- 2 -
y x , x .
Возможны случаи дискретного и непрерывного представления М.
1. Значения y = yi заданы для конечного множества (n) значений xi , (i=1, 2,…, n). Тогда для каждого из этих значений определена и ошибка (рис. 1)
i = (xi ) = yi – (xi) , ( i =1, 2, …, n) . (2.1)
y
y = (x)
yn
(xi ,yi)
_yi
i
y2
y1
x 1 x 2 x i x n x
Рис. 1. Задание y на дискретном множестве значений x
2. Задана функция y=f(x), определяющая значения y для всех точек некоторого интервала [a, b]. Для тех же значений определена и ошибка (рис. 2)
= (x) = f(x) - (x) , x [a, b] , (2.2)
являющаяся непрерывной функцией x.
y
y = (x)
y = f (x)
a x b x
Рис. 2. Задание y как непрерывной функции x
-
3 –
На основе изучения ошибок формируются различные критерии качества аппроксимации, служащие для определения наилучшей аппроксимирующей функции (x). Один из распространенных подходов опирается на использование метода наименьших квадратов (МНК), в соответствии с которым наилучшей считается такая аппроксимирующая функция (x), для которой достигается наименьшее значение суммы квадратов ошибок во всех точках x, принимаемых во внимание.
Применительно к случаю 1 это требование принимает вид
. (2.3)
В случае 2 операция суммирования в конечном множестве точек должна быть заменена операцией интегрирования квадрата ошибки (2.2) по всему интервалу [a, b] и условие МНК записывается следующим образом:
. (2.4)
В настоящей курсовой работе исходные данные заданы в виде табличной зависимости yi (xi), то есть рассматривается решение задачи для случая 1. Уточним условия МНК для этой задачи.
Задача. Зависимость между переменными x и y задана их значениями в отдельных точках , . Требуется найти функцию , наилучшим образом (в смысле МНК) аппроксимирующую указанную зависимость (см. рис. 1).
В соответствии с требованием (2.3) наилучшая аппроксимирующая функция должна быть определена из условия
. (2.5)
Подобное задание исходных данных встречается в задачах технических измерений и их статистической обработки, когда для каждого из задаваемых значений осуществляется измерение величины (сопровождающееся возможными ошибками). Аппроксимация позволяет представить изучаемую связь между x и y с помощью известных функций, что облегчает последующее использование данных, кроме того позволяет «сгладить» возможные ошибки измерений, а также дает возможность оценивать значения переменной в точках x интервала , не совпадающих с заданными (т.е. решать задачу интерполяции).
- 4 -
Методика выбора аппроксимирующей функции
Аппроксимирующую функцию φ(x) выбирают из некоторого семейства функций, для которого задан вид функции, но остаются неопределенными (и подлежат определению) ее параметры С1, С2, …, Сm , т.е.
(x) = (x, С1, С2,…, Сm) . (2.6)
Определение аппроксимирующей функции φ разделяется на два основных этапа:
-
подбор подходящего вида функции φ(х) ;
-
нахождение ее параметров в соответствии с критерием МНК.
Подбор вида функции φ(х) представляет собой сложную задачу, решаемую методом проб и последовательных приближений. Исходные данные, представленные в графической форме (семейства точек или кривые), сопоставляются c семействами графиков ряда типовых функций, используемых обычно для целей аппроксимации. Некоторые типы функций φ(х), которые можно использовать в курсовой работе, приведены в табл. 1.
Таблица 1
Вид функции Название функции
Более подробные сведения о поведении функций, которые могут быть использованы в задачах аппроксимации, можно найти в справочной литературе [1, c. 126 – 137]. В настоящей курсовой работе вид аппроксимирующей функции φ(х) задан.
- 5 -
Общая методика решения
После того как выбран вид аппроксимирующей функции φ(х) (или эта функция задана) и, следовательно, определена функциональная зависимость (2.6), необходимо найти в соответствии с требованиями МНК значения параметров С1, С2, …, Сm .
Как уже указывалось, параметры должны быть определены таким образом, чтобы значение критерия в рассматриваемой задаче (2.5) было наименьшим по сравнению с его значениями при других возможных значениях параметров.
Для решения задачи подставим выражение (2.6) в выражение (2.5) и проведем необходимые операции суммирования. В результате величина J , именуемая в дальнейшем критерием аппроксимации, представится функцией искомых параметров
J = J(С1, С2, …, Сm) . (2.7)
Последующие действия сводятся к отысканию минимума этой функции J переменных Сk . Определение значений Сk = Сk* , k = 1, 2, …, m , соответствующих этому минимуму J, и является целью решаемой задачи.
Возможны следующие два подхода к решению этой задачи: использование известных условий минимума функции нескольких переменных или непосредственное отыскание точки минимума функции каким-либо из численных методов.
Для реализации первого из указанных подходов воспользуемся необходимыми условиями минимума функции (2.7) нескольких переменных [4, c. 21 – 26], в соответствии с которыми в точке минимума должны быть равны нулю частные производные этой функции по всем ее аргументам
∂J / ∂Ck = 0 , (k = 1, 2, …, m) . (2.8)
Полученные m равенств следует рассматривать как систему уравнений относительно искомых значений С1, С2 ,…, Сm. При произвольном виде функциональной зависимости (2.6) уравнения (2.8) оказываются нелинейными относительно величин Сk , и их решение требует применения приближенных численных методов.
Используемые равенства (2.8) дают лишь необходимые, но не достаточные условия минимума функции (2.7). Поэтому требуется уточнить, обеспечивают ли найденные значения Сk* именно минимум функции J(С1, С2, …, Сm). В общем случае такое уточнение выходит за рамки данной курсовой работы, и предлагаемые для курсовой работы задания подобраны так, что найденное решение системы (2.8) отвечает именно минимуму J. Однако, поскольку величина J неотрицательна (как сумма квадратов) и нижняя ее гра-
- 6 -
ница есть 0 (J=0), то, если существующее решение системы (2.8) единственно, оно отвечает именно минимуму J.
Уравнения (2.8), встречающиеся в МНК, называются нормальными, поэтому описываемый способ решения задачи условимся называть методом нормальных уравнений.
Структура этих уравнений получается более простой в том важном частном случае, когда аппроксимирующая функция (x) выбирается линейной функцией искомых параметров Сk и выражение (2.6) имеет вид
(2.9)
где Сk – определяемые параметры; 1(x), 2(x),…, m(x) – система некоторых линейно-независимых функций, называемых в курсовой работе базисными функциями.
Замечание. Функции 1(x), 2(x),…, m(x) называются линейно-независимыми, если при любых x равенство
справедливо только тогда, когда все Сk =0.
В этом случае, подставляя (2.9) в выражение (2.5) и выполняя дифференцирование в соответствии с (2.8), получим систему уравнений относительно искомых Сk .
Покажем получение системы нормальных уравнений в общем случае для m базисных функций. Раскроем выражение аппроксимирующей функции
(x) = С1 1(x) + С2 2(x) +…+ Сm m(x)
и подставим его в формулу критерия аппроксимации (2.5)
. (2.10)