- •Билет 1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Доказательство единственности решения
- •Билет 2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения первого порядка.
- •§ 6. Линейное уравнение первого порядка
- •1 Случай.
- •Метод решения Первый способ
- •Второй способ
- •§ 7. Уравнение в полных дифференциалах
- •Определение
- •Сходимость числовых рядов
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Радикальный признак Коши
- •Предельная форма
- •Доказательство
- •Примеры
- •Интегральный признак Коши
Билет 1 Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида
|
называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Рассмотрим способы решения некоторых его типов.
Для уравнений вида
|
с заданными граничными условиями доказана теорема существования и единственности.
Пусть в области D плоскости (x, y) функция f (x, y) и ее частная производная непрерывны. Тогда через каждую точку (x0; y0) этой области проходит одна и только одна интегральная кривая.
1. Автономное уравнение
|
Домножим обе части уравнения на dx и проинтегрируем обе части получившегося уравнения: Таким образом,
|
2. Уравнение с разделяющимися переменными
|
Это уравнение сводится к системе В первом уравнении после интегрирования находим y как неявную функцию от x:
|
3. Однородное уравнение
|
Пусть Тогда y = zx и и
|
Задача сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными, где F(x) = f(x) – z,
4. Линейное однородное уравнение
|
является уравнением с разделяющимися переменными и интегрируется по частям: откуда
|
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких аргументов, причем в уравнение входят не только сами функции, но и их производные. Если рассматривать функции одного независимого аргумента, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется
максимальный порядок входящих в уравнение производных или
дифференциалов от неизвестных функций.
Если уравнение содержит производные первого порядка, то его общий вид
, (1)
x-независимая переменная
y-неизвестная функция
F-некоторая заданная функция от трех переменных
Функция F может быть определена не во всей области значений её аргумента, а в некоторой области B, которая называется областью задания F.
Решением уравнения (1) называется такая функция , которая определена на интервале (возможны случаи и ), что при подстановке данной функции в (1) мы получаем тождество на всем интервале.
Определение. Интервал (a,b)-называется интервалом определения решения и обозначается .
Подставляя решение в (1) мы предполагаем, что на интервале решение имеет первую производную (то - есть, непрерывна), кроме того, необходимо чтобы выполнялось условие: точка с координатами .
Определение. Решение или интеграл дифференциального уравнения, содержащее число произвольных постоянных равное порядку дифференциального уравнения называется общим решением дифференциального уравнения и имеет вид , где С - любые постоянные. Выбрав некоторое частное значение С, мы получаем частное решение.
Решение дифференциального уравнения можно полагать найденным, если оно представлено в виде выражения содержащего квадратуры, т.е. неопределенные интегралы, для которых ответ может быть получен в элементарных функциях или если решение вычислено приближенно.
Решение всегда может быть проверено подстановкой в дифференциальное уравнение.