Глава 3. Эквивалентные преобразования структурных схем, их математическое описание

3.1. Эквивалентные преобразования структурных схем

3.1.1. Общие замечания

Любую САУ можно рассматривать как соединение типовых звеньев. При этом математическое описание системы представляется системой уравнений, составленной из уравнений звеньев.

Несколько уравнений могут заменяться одним, если исключить в них промежуточные переменные величины. Это соответствует замене нескольких звеньев в структурной схеме системы одним звеном. Ясно, что такая замена не должна приводить к изменению свойств системы.

Возможны и другие виды преобразований структурных схем. Например, при соблюдении соответствующих правил точку приложения какого-либо воздействия можно перенести в другое место структурной схемы.

Преобразования структурной схемы, при которых не происходит изменение свойств системы, называют эквивалентными.

При эквивалентных преобразованиях учитывают виды соединений звеньев. Различают последовательное, согласно-параллельное и встречно-параллельное (по типу обратной связи) соединения.

3.1.2. Последовательное соединение звеньев

Последовательным называется такое соединение, при котором величина на выходе предыдущего звена является входной для последующего (рис. 3.1).

Группу последовательно соединенных звеньев можно заменить одним звеном с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций этих звеньев.

Действительно,

откуда

(3.1)

а)

б)

Рис. 3.1. Последовательное соединение звеньев

а)

б)

Рис. 3.2. Согласно-параллельное соединение звеньев

а)

б)

Рис. 3.3. Встречно-параллельное соединение звеньев

3.1.3. Согласно-параллельное соединение звеньев

Согласно-параллельным соединением называется такое, при котором на входы подается одна и та же величина, а величины на выходах суммируются (рис. 3.2).

Группу параллельно соединенных звеньев можно заменить одним звеном с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций этих звеньев.

Из рис. 3.2 следует, что

Подставляя в последнее выражение предидущие, получим:

откуда

(3.2)

3.1.4. Встречно-параллельное соединение звеньев

При встречно-параллельном соединении величина с выхода одного звена подается на вход другого, величина с выхода которого суммируется с величиной на входе первого звена (рис. 3.3). Звено 1 осуществляет прямую передачу воздействия, а звено 2 – обратную. Поэтому второе звено называют обратной связью.

Два встречно-параллельные звена можно заменить одним эквивалентным звеном.

Из рис. 3.3 следует:

откуда

(3.3)

Обратная связь может быть положительной (в (3.3) знак минус) и отрицательной (в (3.3) знак плюс). Различают также жесткую и гибкую обратные связи. В качестве звена жесткой обратной связи используют безынерционное звено, а в качестве гибкой – дифференцирующее.

При охвате звена обратной связью в общем случае меняются динамические свойства и параметры звена. Поэтому жесткая и гибкая обратные связи широко используются для улучшения динамических свойств САУ и, в частности, для повышения устойчивости. Причем обратными связями могут охватываться как отдельные звенья, так и их группы.

3.1.5. Перенос точки приложения воздействия или подключения

структурной связи

Анализ сложных структурных схем САУ затруднен, особенно при наличии перекрестных связей. Путем эквивалентных преобразований структурные схемы могут быть упрощены.

Например, точка приложения воздействия на входе какого-либо звена может быть перенесена на его выход, если в цепь этого воздействия включить дополнительной звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, относительно которого переносится воздействие (рис. 3.4, а, б). Аналогично можно перенести воздействие с выхода звена на его вход. Но при этом передаточная функция дополнительного звена должна быть обратной (рис. 3.4, а, в).

Путем включения дополнительных звеньев можно также осуществить эквивалентный перенос точки подключения структурной связи (рис. 3.5).

а)

б)

в)

Рис. 3.4. Эквивалентный перенос точки приложения воздействия

а)

б)

в)

Рис. 3.5. Эквивалентный перенос точки подключения структурной связи

63