10. Соединения конденсаторов

Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений конденсаторы соединяют в батареи, при этом используется их параллельное и последовательное соединение.

Параллельное соединение конденсаторов (рис. 5).

Рис. 5 – Параллельное соединение конденсаторов

У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках всех конденсаторов одинакова и равна _А-_В. Если емкости отдельных конденсаторов С₁, С₂, ..., С_n, то, согласно (4), их заряды равны

,

,

………………….

,

а заряд всей батареи, равен сумме зарядов на каждом конденсаторе:

. (11)

Подставим формулу (11) в (4), получим полную емкость батареи:

,

т.е. при параллельном соединении конденсаторов она равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

Последовательное соединение конденсаторов (рис.6).

Рис.6 – Последовательное соединение конденсаторов

У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, а разность потенциалов на зажимах батареи равна сумме разностей потенциалов на каждом конденсаторе:

, (12)

где для любого из рассматриваемых конденсаторов

. (13)

Подставив (13) в (12) получим

,

с другой стороны

.

Приравняв последние формулы, получим:

,

т. е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные емкостям. Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов результирующая емкость С всегда меньше наименьшей емкости, используемой в батарее.

11. Энергия заряженного конденсатора

Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая равна

, (13)

где Q – заряд конденсатора, С – его емкость,  - разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Используя выражение (13), можно найти механическую (пондермоторную) силу, с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х между пластинами меняется, например, на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу вследствие уменьшения потенциальной энергии системы , откуда

. (14)

Подставив в (13) выражение (6), получим

. (15)

Подставим (15) в (14) и, произведя дифференцирование, найдем искомую силу:

. (16)

Знак минус показывает, что F является силой притяжения.

Примеры решения задач

Задача 1. Объяснить, почему на концах ускоренно движущегося металлического стержня АВ (рис.1) появляется разность потенциалов. С каким ускорением а должен двигаться проводник, чтобы разность потенциалов U=1 мкВ? Длина проводника l= 1м.

Дано	Решение
U=1 мкВ	Рис.1 – Ускоренно движущийся металлический стержень
l= 1м
Найти
а- ?

Наличие разности потенциалов свидетельствует о существовании внутри проводника электрического поля. На первый взгляд это противоречит правилу электростатики, утверждающему, что внутри проводника при установившемся распределении зарядов поле должно отсутствовать. Однако отметим, что это правило выведено для неподвижных проводников и является следствием того, что равнодействующая всех сил, приложенных к свободному заряду (для металла – к электрону) внутри проводника, должна быть равна нулю:

, (1)

Иначе заряд не смог бы оставаться неподвижным. Для неподвижных проводников силой, действующей на свободный заряд, будет лишь сила электрического поля, равная

, (2)

где е - величина заряда.

Чтобы применить законы электростатики к проводнику, который согласно условию задачи ускоренно движется, рассмотрим явление в неинерциальной системе отсчета, связанной с данным проводником. В этой системе отсчета его свободные заряды неподвижны. Следовательно, по-прежнему будет выполняться условие (1). Но в неинерциальной системе отсчета на всякое тело действует сила инерции, равная

. (3)

Теперь условие равновесия заряда (1) запишется так:

. (4)

Отсюда видим, что при ускоренном движении проводника в нем должно существовать электрическое поле даже в том случае, когда свободные заряды неподвижны относительно проводника. Это поле обусловлено соответствующим распределением зарядов (в данном случае – свободных электронов) по проводнику, отличному от их распределения в неподвижном проводнике.

Подставим в (4) выражения (2) и (3), получим

. (5)

При поступательном движении проводника все его точки имеют одинаковое ускорение. Поэтому вектор в (5) также должен быть одинаковым для всех точек поля внутри проводника. Следовательно, это поле будет однородным. Тогда перепишем соотношение (5):

,

откуда искомое ускорение

.

Взяв значения заряда и массы электрона из таблиц, подставив численные значения величин, выполним вычисления:

а=1,810⁶ м/с².

Ответ: 1,810⁶ м/с².

Задача 2. Определите расстояние между пластинами плоского конденсатора, если между ними приложена разность потенциалов 150 В, причем площадь каждой пластины 100 см², ее заряд 10 нКл. Диэлектриком служит слюда (=7).

Дано	Решение
U= 150 B	Электроемкость плоского конденсатора вычисляется по формуле: . (1) С другой стороны электроемкость равна: . (2)
S=100 cм^2=10^-2 м^2
Q=10 нКл=10^-8 Кл
=7
Найти
d-?

Приравняв формулы (1) и (2), получим:

.

Откуда выразим искомую величину

.

Подставив числовые значения величин, и произведя вычисления, получим d =9,29 мм.

Ответ: d =9,29 мм.

Задача 3. Как изменяется энергия заряженного плоского воздушного конденсатора при уменьшении расстояния между его пластинами? Рассмотреть два случая: 1) конденсатор отключен от источника напряжения, 2) конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения.

Решение:

1 случай. Если конденсатор отключен от источника напряжения, что заряд на его обкладках не будет изменяться при сближении пластин, т.е.

.

В то же время емкость конденсатора, как это следует из формулы

(1)

будет увеличиваться. Поэтому воспользуется формулой для нахождения энергии конденсатора, в которой энергия выражается через его заряд и емкость:

. (2)

Подставив формулу (1) в выражение (2), получим:

. (3)

Анализируя формулу (3) видим, что при сближении платин конденсатора его энергия, будучи пропорциональной величине l, уменьшается. Заметим, что за счет убыли энергии конденсатора совершается работа сил притяжения обкладок при их сближении.

2 случай. Если конденсатор остается подключенным к источнику постоянного напряжения, то на обкладках конденсатора поддерживается постоянное напряжение:

.

Поэтому воспользуемся формулой для расчета энергии конденсатора, в которой энергия выражается через напряжение и емкость:

. (4)

Поставим в формулу (4) формулу (1):

. (5)

Анализируя формулу (5), видим, что при сближении платин энергия конденсатора, будучи обратно пропорциональной величине l, увеличивается.

Ответ: если конденсатор отключен от источника напряжения, то при сближении платин его энергия уменьшается; если конденсатор не отключен от источника напряжения, то при сближении пластин его энергия увеличивается.

Задача 4. Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последовательно соединенными конденсаторами С=100 пФ, а заряд Q=20нКл. Определите емкость второго конденсатора, а также разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора, если С₁=200 пФ.

Дано	Решение
С=100пФ=10^-10Ф	При последовательном соединении все конденсаторы имеют одинаковый заряд: . Общая электроемкость батареи последовательно соединенных конденсаторов находится по формуле: ,
С1=200пФ=210^-10Ф
Q=20нКл=210^-8Кл
Найти
С2-?
U1-?
U2-?

отсюда выражаем С₂:

.

Напряжение на первом конденсаторе:

.

Напряжение на втором конденсаторе:

.

Подставив числовые значения, и произведя подсчеты, получим: С₂=200пФ, U₁=100В, U₂=100В.

Ответ: 200пФ, 100В, 100В.

Задача 5. Конденсаторы емкостями С₁= 5мкФ и С₂=10мкФ заряжены до напряжений U₁=60B, U₂=100B соответственно. Определить напряжение на обкладках конденсаторов после их соединения обкладками, имеющими одноименные заряды.

Дано	Решение
С1= 5мкФ	Соединение конденсаторов обкладками имеющими одноименные заряды, называется параллельным. При параллельном соединении электроемкость батареи равна сумме электроемкостей каждого из конденсаторов: . (1)
С2=10мкФ
U1=60B
U2=100B
Найти
U-?

Общий заряд батареи конденсаторов равен сумме зарядов на каждом конденсаторе:

. (2)

Заряды на 1-м и 2-м конденсаторах равны соответственно:

и . (3)

Подставим формулы (3) в формулу (2), получим:

. (4)

Напряжение на батареи конденсаторов, так же как и на отдельном конденсаторе находится по формуле:

. (5)

Подставим формулы (1) и (4) в (5):

. (6)

Подставим в формулу (6) числовые значения и произведем вычисления, получим: U=86,7 В.

Ответ: 86,7 В.