- •Класифікація і зведення до канонічного вигляду квазілінійних рівнянь з частинними похідними: випадок гіперболічного рівняння.
- •Класифікація і зведення до канонічного вигляду квазілінійних рівнянь з частинними похідними: випадок параболічного рівняння.
- •Класифікація і зведення до канонічного вигляду квазілінійних рівнянь з частинними похідними: випадок еліптичного рівняння.
- •4.Коливання струни: виведення хвильового рівняння.
- •5.Формула д’аламбера (розв’язування задачі Коші для хвильового рівняння)
- •6.Розв’язувння змінної задачі для напівнескінченної струни за допомогою формули д’аламбера
- •7. Коливання обмеженої струни (стоячі хвилі)
- •8. Вимушені коливання однорідної струни
- •9. Виведення рівняння теплопровідності
- •10. Розв’язування змішаної задачі дифузійного типу методом відокремлення змінних
- •11. Перетворення неоднорідних (гу) у дифузійних задачах в однорідні
- •12. Задача коші для рівняння теплопровідності
- •13. Граничні умови в задачах дифузійного типу
- •14. Хвильове рівняння і граничні умови
- •15.Еліптичні задачі. Три основні типи граничних умов у крайових задачах
- •15. Еліптичні задачі. Три основні типи граничних умов в крайових задачах.
Класифікація і зведення до канонічного вигляду квазілінійних рівнянь з частинними похідними: випадок гіперболічного рівняння.
Квазілінійні ДРЧП мають вигляд :
A=A(x,y), B=B(x,y), C=C(x,y).
Функції А,В,С – це функції, визначені в деякій області G площини ОХУ і двічі неперервно-диференційовані в ній. F- деяка задана неперервна функція своїх аргументів, якщо F- лінійна функція відносно uта її похідних, то рівняння називається лінійним, в супротивному випадку квазілінійним. Поставимо перед собою таку задачу: за допомогою заміни змінних ввести рівняння:
(1)
до найбільш простого вигляду, для цього введемо нові незалежні змінні
(2)
вимагаючи, що якобіаном відповідного перетворення:
(3)
Умова (3) є необхідною і достатньою щоб існувало обернене перетворення:
(4)
Перейдемо до нових незалежних змінних (3) в рівнянні (1):
(5)
Підстановка формул (2,5) в рівняння (1) приводить нас до такого трансформованого рівняння:
(6)
(7)
Залишилось змінити й функцію F, але нас тут не цікавить. Спробуємо й далі підібрати функції щоб перетворити деякі коефіцієнти трансформованого рівняння (6) у 0. З формули (7) випливає, що перетворення коефіцієнтів в 0 є еквівалентним розв’язком диференціального рівняння 1-го порядку такого вигляду:
(8)
поділивши рівняння (8) на ( ) ми прийдемо до такого рівняння:
=0
І неважко побачити,що воно розкладеться на такі два рівняння:
(8a)
(8b)
тому розв’язки рівнянь (8a),(8b) будуть розв’язки рівняння 8. Згідно загальної теорії ДРЧП 1-го порядку інтегрування рівнянь (8a), (8b) зводиться до інтегрування відповідних звичайних диференціальних рівнянь, які матимуть вигляд:
(9a)
або
(9b)
Розв’язки рівняння (8a),(8b) зв’язані з (9a),(9b).
Нехай (10) є загальними інтегралами (9a),(9b). Тоді функції і лише вони будуть розв’язками рівняння (8a),(8b), а отже, і (8). Зрозуміло, що це має місце тоді коли коефіцієнт (9a),(9b) не перетворюється одночасно в 0. В подальшому ми вважатимемо, що і більше того, не порушуючи загальності міркувань, що А>0. Самі криві (10) називатимемо характеристиками рівняння (1), а рівняння (9a),(9b) можуть бути записаними у вигляді одного рівняння:
(9)
Поведінку інтегралів рівняння (9a), (9b), а отже шукане найпростішого вигляду рівняння (1) залежить від дискримінанту:
Безпосереднім обчисленням можна переконатись , що має місце така рівність:
(11)
а отже, не змінюється в результаті виконання заміни змінної , тобто є інваріантом перетворення (2). Тому класифікацію рівнянь вигляду (1) будемо проводити за законом
Означення:
Рівняння (1) у точці з області G називається
Гіперболічного типу, якщо > 0;
Параболічного типу, якщо = 0;
Еліптичного типу, якщо < 0;
Якщо в деякій області , дискримінант зберігає знак або дорівнює 0, то рівняння (1) називається гіперболічного, параболічного та еліптичного типу в області . Перейдемо до зведення рівняння до канонічного вигляду.
Рівняння гіперболічного типу:
> 0
У цьому випадкові рівняння (9a), (9b), а отже і їхні інтеграли є дійсними і різними, тому загальні інтеграли (10) визначають дійсні і різні сім’ї характеристики, оскільки задовольняють то поклавши заміну :
із рівностей (7) отримаємо, що , а з рівності (11), що . Поділивши рівняння (6) на 2 прийдемо до такого:
(12)
Рівняння (12) і є канонічним виглядом рівняння гіперболічного типу.
Якщо покласти то отримуємо із (12) рівняння:
(13)
Яке є іншим канонічним виглядом рівняння гіперболічного типу.