Вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде.

Пусть x=x(t), y=y(t), где   - параметрические уравнения кусочно-гладкой кривой. Если данные уравнения определяют некоторую функцию y=f(x) на отрезке [a,b] (без ограничения общности будем считать, что   на отрезке [a,b]), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, кривой y=f(x) и прямыми x=a и x=b, может быть найдена по формуле   .

Вводя замену переменной y=y(t), x=x(t), dx= x’(t)dt, получим формулу для вычисления площади фигуры при параметрическом задании границы:

    .

Аналогично может быть получена формула

 .

Таким образом, вычисление площади фигуры, ограниченной кривой в параметрической форме, может быть рассмотрено как замена переменной при вычислении площади в декартовых координатах.

Если x=x(t), y=y(t),   - параметрические уравнения кусочно-гладкой замкнутой кривой, пробегаемой в положительном направлении (то есть таким образом, что фигура, ограниченная заданным контуром остается слева), то площадь S этой фигуры равна:

 ,

где   - значения параметра, соответствующие началу и концу обхода контура фигуры в положительном направлении.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически:   .

Решение. Выясним, какую фигуру ограничивает заданная кривая. Функции x=x(t) и y=y(t) определены, непрерывны и дифференцируемы при любом действительном значении параметра   . Если   , то   , а если   , то   .

Наибольшее значение x принимает при x’(t)=0, 2-2t=0; t=1, x(1)=1; y(1)=1. Если x=0, то t=2 или t=0. При этих же значениях параметра y=0. Таким образом, точка с координатами (0;0) является точкой самопересечения. Следовательно, искомая площадь ограничена петлей кривой, расположенной в первом квадранте, и соответствует изменению параметра от t=0 до t=2 при положительном направлении обхода (рисунок 7).

Рисунок 7.

Площадь искомой фигуры можно вычислить по формуле

 ,

 .

Поскольку некоторые кривые могут быть заданы простыми параметрическими уравнениями, то вычисление площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой, в декартовых координатах зачастую удобнее проводить, перейдя к параметрической форме записи.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры ограниченной эллипсом   .

Решение. Запишем уравнение эллипса в параметрической форме: x=a×cost, y=b×sint,   . Возрастание параметра от 0 до 2p соответствует положительному направлению обхода. Наиболее простой вид подынтегральное выражение примет, если воспользоваться формулой

 ;

 ;

 .

Вычисление длины дуги кривой.

Пусть в декартовой системе координат на плоскости дана кривая, являющаяся графиком непрерывной дифференцируемой функции y=f(x) с непрерывной производной на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками   . Найдем значения функции f(x) в точках разбиения. Тогда дуга кривой f(x) на [a,b] разобьется на n частей точками

 . Проведем хорды   и обозначим их длины   соответственно. Полученная ломаная  имеет длину   .

Определение. Длиной дуги кривой y=f(x) на отрезке [a,b] называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной при стремлении к нулю длины ее наибольшего звена (или, что то же самое, при неограниченном увеличении числа точек деления)

 .

Длина отдельного звена ломаной может быть найдена как длина отрезка   :

 .

Поскольку функция f(x) непрерывна и дифференцируема на всем промежутке [a,b], то, по теореме Лагранжа о дифференцируемых функциях, найдется такая точка   на отрезке  , что

 .

Если обозначить   , то формулу для   можно переписать в виде

Таким образом, длина дуги y=f(x) на отрезке [a,b] определяется формулой

в силу непрерывности f’(x) и определения интегральной суммы. Выражение    называется дифференциалом  дуги.

Если кривая задана уравнением x=f(y), yÎ[a,b], то, рассуждая аналогично, можно получить формулу

 ,   .

Если кривая на плоскости задана параметрически: x=x(t), y=y(t),   ;   , где x(t), y(t) – дифференцируемые функции, имеющие на отрезке   непрерывную производную, то, выполнив замену переменной в предыдущих формулах, получим:

 ,    .

Если задана пространственная кривая параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t),   , где x(t), y(t), z(t) – дифференцируемые на отрезке   функции с непрерывной производной, то длина кривой вычисляется по формуле

 ,   .

Пусть в полярных координатах кривая задана уравнением   , где   - дифференцируемая функция с непрерывной на   производной   . Запишем формулы перехода от декартовой системы координат к полярной:   . Если в эти формулы подставить   , то получится параметрическое задание кривой, где параметр   - полярный угол. Тогда по формуле для параметрически заданной функции можно найти длину дуги кривой:

 .

 ,   .

Рассмотрим некоторые примеры вычисления длины дуги кривой.

Пример 1. Вычислить длину дуги кривой   от точки   до точки   , (b>a).

Решение. Воспользуемся формулой

 :

 ;

 ;

 .

Пример 2. На циклоиде x=a(t-sint), y=a(1-cost), a>0, найти точку, которая делит первую арку циклоиды по длине в отношении 1:3.

Решение. Первая арка циклоиды соответствует изменению параметра t от t=0 до t=2p. Вычислим длину первой арки циклоиды.

 ;

Таким образом, искомая точка, соответствующая значению параметра   , определяет часть кривой, имеющую длину 2а, то есть

 .

Найдем из этого равенства значение   :

Исходя из условий задачи, следует выбрать значение   .

Если   , то

 .

Искомая точка имеет координаты:

 .

Пример 3. Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением   , a>0.

Решение. Уравнение   , a>0, определяет замкнутую кривую, соответствующую изменению j от 0 до 3p (рисунок 8).

Рисунок 8.

Воспользуемся формулой   :

 .