Тема 40. Элементы теории игр

40.1. Игровые модели и их классификация

Определение 1. Конфликтной ситуацией (конфликтом) называют явление или ситуацию, в которой участвуют две или более стороны, имеющие различные интересы и обладающие возможностями применять для достижения своих целей разнообразные действия.

Определение 2. Упрощенную формализованную модель конфликтной ситуации называют игрой.

Замечание. От реального конфликта игра отличается наличием правил игры.

Теория игр – раздел прикладной математики, занимающийся построением математических моделей возможных конфликтных ситуаций и разработкой методов решения возникающих в этих ситуациях задач.

Определение 3. Заинтересованные стороны конфликта называют игроками.

Определение 4. Каждое действие игрока в рамках правил игры и в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры, называют ходом или стратегией игрока.

Определение 5. Число, выражающее степень удовлетворения интересов игрока в данной ситуации, называют выигрышем игрока.

Определение 6. Зависимость величины выигрыша игрока от всевозможных стратегий называют функцией выигрыша (платежной функцией).

Определение 7. Значение функции выигрыша называют исходом игры.

Замечание. В теории игр предполагают, что функции выигрыша и множество доступных для каждого игрока стратегий известны, то есть каждый игрок знает как свои функции выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, так и функции выигрыша и стратегии остальных игроков. В соответствии с этой информацией он и организует свое поведение, то есть определяет выбор своей стратегии. Суть игры заключается в том, что каждый из игроков принимает такие решения, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший результат (исход).

Определение 8. Стратегию называют оптимальной, если она при многократном повторении обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Основные направления изучения теории игр

1) выработка принципов оптимальности – критериев, по которым поведение игроков следует считать оптимальным;

2) выяснение реализуемости принципов оптимальности – установление оптимальных в выработанном смысле ситуаций, отыскание их реализаций.

Определение 9. Игровую ситуацию называют равновесной (равновесием), если в ее нарушении не заинтересован ни один из игроков.

Замечание. Равновесие является одной из форм представления об оптимальности в игре, так как в равновесной ситуации каждый игрок получает наибольший выигрыш.

Определение 10. Если в игре существуют стратегии, приводящие к равновесной ситуации, то такие стратегии называют чистыми.

Определение 11. Если в игре не существует стратегий, приводящих к равновесной ситуации, но существуют комбинации исходных стратегий, приводящие к равновесию, то такие комбинации называют смешанными стратегиями.

Замечание. Часто смешанную стратегию представляют как случайный выбор игроками чистых стратегий, при котором случайные выборы различных игроков независимы в совокупности, а выигрыш каждого из них определяется как математическое ожидание случайного выигрыша.

Определение 12. Игру, в которой не существует равновесия, достигаемого чистыми стратегиями, но достигаемого смешанными стратегиями, называют смешанным расширением исходной игры.

Классификация игр

№ п/п	Признак	Класс игр
1.	Число игроков	Парные игры (два игрока)
		Множественные игры (три и более игроков)
		Игры с бесконечным числом игроков
2.	Количество стратегий	Конечные игры (конечное число стратегий у каждого игрока)
		Бесконечные игры (бесконечное число стратегий у каждого игрока)
3.	Свойства функции выигрыша	Игры с нулевой суммой или антагонистические игры (выигрыш одного игрока равен проигрышу другого)
		Игры с постоянной разностью (игроки выигрывают и проигрывают одновременно и им выгодно согласовывать свои действия)
		Игры с ненулевой суммой (возможны и конфликты и согласованные действия)
4.	Возможность ведения переговоров	Кооперативные (коалиционные) игры (игроки могут договариваться о совместных стратегиях)
		Некооперативные игры (игроки не имеют возможности договариваться)
5.	Характер действий игроков	Позиционные игры (игроки совершают действия последовательно, друг за другом)
		Непозиционные игры (игроки действуют одновременно)