23. Ряд Лорана. Теор. Лорана.

Ряд Лорана примен. для представления аналит. ф-ций в круге. Явл. обощением ряда Тейлора и позв. исслед. ф-ции в кольцевых обл. z<|z-a|<R.

Теор. Лорана: Всякую ф-цию f(z) аналит. в кольце z<|z-a|<R можно представить в виде суммы сход. ряда:

док-во: обозн. кольцо, в кот. аналит. ф-ция через К. Рассм. произв. т. zК. Построим кольцо К’, целиком леж в К, так чтобы zK’ Обозн границу этого кольца через Г₁ и Г₂. Получим, что ф-ция f(z) аналит. в K’ и на его границе. Тогда для этого кольца K’ справедлива фор-ла Коши: . Рассм. их по отдельности: по Г₂: Разложим ф-цию по степеням (z-a): . На окр. Г₂ получ. степ. ряд будет сх-ся равномерно, а f(z) - аналит. на Г₂, знач. явл. огранич., значит ряд сх-ся равн. значит его можно проинтегр. по окр. Г₂: . по Г₁: Рассм. ф-цию и разл. ее по степеням : - геометрич. прогрессия. Данный ряд сх-ся равн. на окр. Г₁ и ф-ция f(z)огран. на этйо окр., тогда ряд равн. сх-ся на Г₁, значит его можно почленно интегр.: . Проведем окр. γ так, что бы она лежела между Г₁ и Г₂, тогда по сл. из теор. Коши f(z) можно предст. в виде: . Первый ряд сх-ся во внешности окр. Г₁, второй - во внутренности окр. Г₁, тогда: , ч.т.д.

опр. ф-ный ряд (*) коэф. кот. нах-ся по фор-ле (**) наз. рядом Лорана ф-ции f(z) в кольце z<|z-a|<R.

опр. Сов-ть членов ряда Лорана с отриц. степенями наз. главной частью ряда,, а с положит. - правильной.

сл.: всякий сх-ся ряд по целым степеням (z-a) явл. рядом Лорана своей суммы.

24. Устранимые особые точки.

опр. т. а - наз. изолированной особенностью ф-ции если f(z) аналит. в некот. проколотой окр. т. а, а в самой т. а может быть и не аналит.

опр. т. а наз. устранимой особой т. f(z) если разложение в ряд Лорана не содержит членов с отриц. степенями, то есть главная часть = 0.

теор. т. а явл. устранимой особ. ф-ции f(z) т и т т, когда в этой т. сущ. конечный предел .

док-во: 1. необх: дано: а -устр., док-ть: сущ предел. .

2. дост: дано: предел, док-ть: нет главной части. в ряде Лорана при устремлении za получим, что главная часть дает бесконечность, правильная - б/м величины, т.к. предел=число, то значит главная часть=0.

25. Полюсы ф-ции комп. перем.

опр. т. а - наз. изолированной особенностью ф-ции если f(z) аналит. в некот. проколотой окр. т. а, а в самой т. а может быть и не аналит.

опр. т. а наз полюсом f(z) если главная часть ее разложения в ряд Лорана в окр. т. а содержит конечное число членов. Наим. показатель степени наз. порядком полюса.

теор. т. а явл. полюсом f(z) т и т т, когда .

док-во: 1. необх: дано: а-полюс, док-ть: предел. Рассм. ф-цию -аналит. в окр. т. а, тогда . .

2. дост. дано: предел. док-ть: а-полюс. , значит вып. и для M=1, значит в некот. окр. т. а f(z)0. Рассм. -аналит. в некот. окр. т. а, более того . В силу аналит. фи(z) в окр. т. а можно представить в виде степ. ряда и т. а будет явл. устранимой особенностью: - аналит. в окр. т. а. - конечное число отриц. степеней.

26. Сущ. особые точки. Теор. Сохоцкого-Вейерштрасса.

опр. т. а - наз. изолированной особенностью ф-ции если f(z) аналит. в некот. проколотой окр. т. а, а в самой т. а может быть и не аналит.

опр. т. а наз. суш. особой т. ф-ции f(z) если главная часть разлож. в ряд Лорана этой ф-ции в окр. т. ф содержит беск. много слагаемых.

теор. т. а сущ. особой т. ф-ции f(z) т и т т, когда в этой т. не сущ. предела ф-ции .

док-во: 1. необх: дано: ф-суш.особ. док-ть: предел не сущ. Предположим, что предел сущ. тогда возм. варианты: он либо конечен, либо беск. Если конечен - ф -устр. особ. => гл. часть не соделжить ни 1 члена. Если беск. - а-полюс => гл. часть сод. кон. число сленов. Противоречие - предел не сущ. 2.дост. дано: предел не суш. док-ть: а-сущ.особ. а не может быть устран. особ. ни полюсом. То есть гл. часть содержит счетное кол-во слагаемых, знач. а - сущ. особ.

теор.Сахотского-Вейерштрасса: если т. а сущ. особ. точка ф-ции f(z), то AC включая A=, z_na, f(z_n)A. (сущ. посл-ть z_n сх. к а, такая что посл. f(z_n) сх. к A).