Примеры решения задач

Задача 1

Зависимость пройденного телом пути S от времени t даётся уравнением S=A+Bt+Ct²+Dt³, где С=0,14 ,D=0,01 . Через какое время после начала движения ускорение тела будет равно 1? Чему равно среднее ускорение тела за время отt = 0 до t = 1 ?

Решение

Мгновенное ускорение тела в момент времени t можно найти как вторую производную от пути:

a = =(B+2Ct+3Dt²) = 2C+6Dt.

Надо определить значение t, при котором a = 1 .

Получим: t = .

Подставив численные значения, получим:

t = = 12 с.

Чтобы найти среднее ускорение за промежуток времени от t₁ до t₂, надо определить величины скорости в момент времени t₁ и t₂ и их разность разделить на t₂ – t₁:

a_ср = .

Скорость находим как производную пути по времени:

υ = B+2Ct+3Dt²,

υ₁ = B+2Ct₁+3Dt₁²,

υ₂ = B+2Ct₂+3Dt₂².

Разность скоростей:

υ₂ – υ₁ = 2С(t₂ – t₁) + 3D(t₂² – t₁²) = (t₂ – t₁)[2С +3D(t₂+t₁)],

подставляем в формулу для среднего ускорения:

a_ср = =2С+3D(t₂+t₁).

Подставив численные значения, получим:

a_ср = 0,28+ 3^.0,01^.1с = 0,31.

Задача 2

Тело брошено со скоростью υ₀ = 14,7 , под углом α = 30^о к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорения тела через t= 1,25 с после начала движения, а также радиус кривизны траектории в данный момент времени. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение

Полным ускорением является ускорение свободного падения . Оно раскладывается на тангенциальную и нормальную составляющие. Если горизонтальную ось обозначитьx, а вертикальную y, то g направленно по оси y, a_τ – по касательной к траектории, а a_n – по нормали к ней.

Полная скорость тела направлена по касательной к траектории, её можно разложить на горизонтальную составляющую–υ_x и вертикальную составляющую – υ_y. Треугольники скоростей и ускорений прямоугольные и угол между υ_у и υ такой же, как и между a_τ и g (так как a_τ и υ направлены по касательной к траектории, а υ_y и g – по оси y). Таким образом, чтобы найти a_n и a_τ, нужно определить в данный момент времени υ_x, υ_у, υ.

υ_x = υ₀ cos α = const,

υ _у = - υ₀ sin α + gt

(так как мы выбрали направление оси y вниз),

υ = .

Из подобия треугольников имеем:

= , = ,

отсюда a_τ = g , a_n = g .

Радиус кривизны траектории определяется из условия:

a_n = ,

значит R = = .

Подставив численные значения, получим:

a_τ = = 3,55 ,

a_n = = 9,15 ,

R = = 10 м.

Задача 3

Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою скорость за 1 мин с 300 об/мин до 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время.

Решение

Запишем кинематические соотношения для вращательного движения: ω = ω₀ – ε t, φ = ω₀t – ε .

В условии задана не угловая скорость ω, а частота вращения ν, ω = 2πν, φ = 2πΝ.

Подставляем эти соотношения в уравнения:

2πν = 2πν₀ – ε t.

Отсюда ε = ,

2πΝ = 2π ν₀t – ε= 2πν₀t – 2π (ν₀–ν)= 2π (ν₀+ν),

или N = (ν₀+ν).

Подставив числовые значения, найдём:

ε = 750 мин ^-2 = 0,208 с ^-2,

N = 240 оборотов.

Задача 4

Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 60^о с направлением линейной скорости этой точки.

Решение

С

a_τ

α

корость точки направлена по касательной к траектории, т. е. к окружности. По касательной направлено и тангенциальное ускорение. Значит, угол между полным ускорением и тангенциальным ускорением равен углу между ускорением и скоростью.

_­ На чертеже видно, что a_n = a_τ tg α. (1)

Выражаем a_n и a_τ через угловые параметры движения:

a_n = ω²R, a_τ = εR,

и подставляем в (1)

ω²R = ε R tg α. (2)

При нулевой начальной скорости

ω = ε t.

Подставляем в (2):

ε²t² = ε tg α,

ε = = 0,43 с^-2.