- •Цели и задачи дисциплины
- •2. Содержание курсовой работы
- •Задание на анализ и расчет нелинейных систем автоматического управления (сау)
- •Методические указания по выполнению курсовой работы
- •Пример выполнения курсовой работы
- •I. Составление уравнений элементов сау.
- •II. Составление структурно-математической схемы сау.
- •III. Исследование устойчивости сау.
- •IV. Оценка качества регулирования нелинейной сау температуры.
- •V. Определение функции и моментов распределения случайного процесса на выходе нелинейной сау температуры в сушильной камере.
- •3. Информационно-методическое обеспечение дисциплины Список основной литературы
- •Цели и задачи дисциплины . . . . . . . . . . . 3
- •123423 Москва, ул. Демьяна Бедного, 7
Пример выполнения курсовой работы
Рассмотрим решение задачи для следующих исходных данных:
- постоянная времени объекта с,
- коэффициент усиления объекта и регулирующего органа град/рад,
- коэффициент усиления чувствительного элемента А-в/град,
- коэффициент усиления двигателя рад/(В*c),
- передаточное отношение редуктора ,
- коэффициент усиления цепи обратной связи А-в/рад,
- ампер-витки срабатывания реле А-в,
- максимальное напряжение на выходе релейного усилителя В.
I. Составление уравнений элементов сау.
Для заданной принципиальной схеме составим дифференциальные уравнения звеньев системы.
Уравнение регулируемого объекта
(1.1)
где – фактическое значение температуры объекта, – угол поворота регулирующего органа.
Уравнение чувствительного элемента
(1.2)
где – заданное значение температуры объекта, – ошибка рассогласования систем.
Уравнение релейного усиления
(1.3)
где – нелинейная функция, заданная статической характеристикой (см. рис. 2).
Уравнение двигателя постоянного тока
(1.4)
где – угол поворота вала двигателя.
Уравнение редуктора
(1.5)
где – коэффициент передачи редуктора
Уравнение цепи обратной связи
(1.6)
где – ампер-витки обмотки обратной связи.
II. Составление структурно-математической схемы сау.
Структурно-математическая схема системы автоматического регулирования температуры изображена на рис. 3.
В соответствии со структурно-математической схемой дифференциальное уравнение линейной части системы можно записать в следующем виде:
(1.7)
Подставим в уравнение (1.7) численные значения параметров и получим
(1.8)
Уравнение линейной части (1.7) дополняется уравнением нелинейного звена (1.3)
Рис. 3. Структурно-математическая схема система автоматического регулирования температуры
III. Исследование устойчивости сау.
Исследуем устойчивость САУ температуры методом фазового пространства при отключенной местной обратной связи (см. рис. 1).
В режиме стабилизации температуры можно принять , .
При этом уравнения звеньев системы можно записать в следующим виде:
Уравнение объекта регулирования
(3.1.1)
Уравнение чувствительного элемента
(3.1.2)
Уравнение усилителя (при )
(3.1.3)
Уравнение двигателя постоянного тока
(3.1.4)
Уравнение редуктора
(3.1.5)
Учитывая, что ток в обмотке поляризованного реле пропорционален отклонению температуры , а скорость отклонения регулирующего органа пропорциональна напряжению , в качестве входной величины нелинейного звена (поляризованного реле) можно принять , а в качестве выходной – величину (см. рис. 4).
Рис. 4. Статическая характеристика нелинейного звена
На этом рисунке
.
В соответствии с уравнением объекта регулирования (3.1.1) и статической характеристикой нелинейного звена (см. рис. 4) уравнения всей системой можно записать в следующем виде:
(3.1.6)
(3.1.7)
Решив уравнения (3.1.6) и (3.1.7) совместно, получим
(3.1.8)
(3.1.9)
(3.1.10)
Рассмотрим уравнение (3.1.8):
(3.1.11)
Введем обозначения , и уравнение (3.1.11) перепишем следующим образом:
(3.1.12)
Для исключения времени из уравнения (3.1.12) разделим его на . Получим
или после разделения переменных
(3.1.13)
Проинтегрировав уравнение (3.1.13), получим уравнение фазовых траекторий
(3.1.14)
Проделав аналогичные операции с уравнениями (3.1.9) и (3.1.10), получим для них
(3.1.15)
(3.1.16)
Подставив в уравнения (3.1.14)-(3.1.16) численные значения параметров, получим
(3.1.17)
(3.1.18)
(3.1.19)
По уравнениям (3.1.17)-(3.1.19) на рис. 5 построен фазовый портрет всей системы. Там же выделена фазовая траектория, соответствующая начальным условием: при , , .
Рис. 5. Фазовые траектории системы регулирования температуры
По виду фазовой траектории можно установить, что процесс в системе заканчивается немного больше, чем за один период колебаний, Переходный процесс в системе может закончиться в любой точке отрезка АВ.
Исследуем устойчивость САУ температуры (см. рис. 1) прямым методом Ляпунова.
В режиме стабилизации температуры можно принять , .
Согласно структурно-математической схеме (см. рис.3) САУ температуры описывается следующими дифференциальными и алгебраическими уравнениями:
(3.1.2)
если коэффициент усиления интегрирующего звена относительно к следующему пропорциональному звену.
Приведем систему (3.2.1) к нормальному виду. Для этого введем обозначения:
Получим:
(3.2.2)
Общий вид системы нелинейных уравнений 2-го порядка заданных в нормальной форме, представлен ниже:
(3.2.3)
Откуда следует:
Запишем уравнение (3.2.2) в канонической форме. Для этого из коэффициентов уравнения составим определитель:
(3.2.4)
Для нашего случая определитель имеет вид:
(3.2.5)
Определим корни характеристического уравнения .
Ввиду того, что в характеристическом уравнении имеется один нулевой корень, канонические уравнения записываются в следующем виде:
(3.2.6)
Определим постоянные , и :
(3.2.7)
(3.2.8)
где обозначает алгебраическое дополнение элемента -ой строки и -го столбца определителя .
По формуле (3.2.8) определим
(3.2.9)
(3.2.10)
Определим :
(3.2.11)
Поскольку , то в соответствии с уравнением (3.2.7) .
Для класса нелинейных систем, к которому принадлежит рассматриваемая система, достаточные условия устойчивости имеют вид:
(3.2.12)
где
Условие (3.2.12) приводит к следующему достаточному условию устойчивости рассматриваемой системы:
3.3 Исследуем устойчивость САУ температуры частотным методом Попова при отключении местной обратной связи (см. рис. 1).
В режиме стабилизации температуры можно принять , .
Структурно-математическая схема нелинейной САУ представлена на рис. 6, а.
Коэффициент усиления линейной части системы равен .
Коэффициент усиления нелинейного звена системы равен (см. рис. 2).
Коэффициент усиления линейной части системы и нелинейного звена условно отнесем к нелинейному звену.
Необходимо определить, при каких значениях система будет абсолютно устойчива, если характеристика нелинейного звена расположена в секторе (см. рис. 6, б).
а) б)
Рис. 6. Структурно математическая схема САУ температуры (а) и статическая характеристика нелинейного звена (б)
Частотная передаточная функция линейной части системы имеет вид:
(3.3.1)
Ее вещественная и мнимая части соответственно равны:
(3.3.2)
(3.3.3)
Введем некоторые функции и следующим образом:
(3.3.4)
(3.3.5)
По выражениям (3.3.4) и (3.3.5) построим характеристику (см. рис. 7) и через точку проведем прямую Попова так, чтобы построенная характеристика целиком лежала справа от этой прямой.
Уравнение прямой Попова, коэффициенты которого получены путем подбора, приведено ниже:
Рис. 7. Характеристика V*(ω) = f [U*(ω)] (сплошная линия) и прямая Попова (пунктирная линия)
Расчетное значение разомкнутой системы равно k = k2k3k0k1*Umax/aωcp = 2*0.001*10*0.25*110/0.5 = 1.1
Согласно рис. 7 1/k ≈ 1/1.1 ≈ 0.909. Поэтому система абсолютно устойчива для всех нелинейных характеристик, лежащих в секторе
0 < k < 1.1 (3.3.6)
и, в частности, для характеристики релейного типа, изображенной на рис. 6,б.
Таким образом, достаточное условие абсолютной устойчивости замкнутой нелинейной системы сводится в данном случае к выполнению необходимого и достаточного условия устойчивости замкнутой линейной системы, имеющей в разомкнутом состоянии коэффициент усиления, равный k.
Исследуем устойчивость САУ температуры и определим амплитуду и частоту колебаний алгебраическим методом (см. рис. 1).
По структурно-математической схеме (см. рис. 1) определяем дифференциальное уравнение линейной части системы при отключенной местной обратной связи и :
(3.4.1)
Для нелинейного звена запишем гармонически линеаризованное выражение
(3.4.2)
где для нелинейности (см. рис. 2)
(3.4.3)
Подставляя значение u из уравнения (3.4.2) в уравнение (3.4.1), получим линеаризованное уравнение замкнутой нелинейной системы
(3.4.4)
где k = k2k3k0k1 – коэффициент усиления линейной части системы.
Этому дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение
(3.4.5)
Условие существования в уравнении (3.4.4) периодического решения
(3.4.6)
будем отыскивать с помощью критерия Михайлова. Для этого в характеристический полином:
(3.4.7)
подставим , выделим вещественную и мнимую части и приравняем их к нулю:
(3.4.8)
Из второго уравнения системы (3.4.8) найдем искомую частоту периодического решения .
Подставим это решение в первое уравнение (3.4.8) и найдем выражение, связывающее амплитуду периодического решения с параметрами системы:
(3.4.9)
Отсюда получим
Для исследования устойчивости найденного периодического решения воспользуемся приближенным аналитическим условием, согласно которому периодическое решение устойчиво, если выполняется неравенство
(3.4.10)
Из выражений (3.4.8) находим
Подставим выражение для частных производных в (3.4.10) и одновременно произведем замену .
Получим условие устойчивости периодического решения в виде
или (3.4.11)
В данном случае условие существования периодического решения имеет вид: . Следовательно, автоколебания отсутствуют, состояние равновесия устойчиво.
3.5 Исследуем устойчивость САУ температуры и определим амплитуду и частоту колебаний методом гармонической линеаризации (см. рис. 1) при отключенной местной обратной связи и .
Структурно-математическая схема САУ температуры представлена на рис. 8. Статическая характеристика нелинейного звена изображена на рис. 2.
Введем следующие обозначения:
– коэффициент усиления линейной части системы.
Рис. 8. Структурно-математическая схема САУ температуры
Построим амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части системы и годограф гармонически линеаризованного нелинейного звена . Согласно структурно-математической схеме частотная передаточная функция линейной части системы равна:
ее модуль
и фаза
Ее вещественная и мнимая части соответственно равны:
(3.5.1)
(3.5.2)
Задаваясь значениями ω от 0 до ∞, по формулам (3.5.1) и (3.5.2) строим амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы (см. рис. 9).
Рис. 9. Частотные характеристики линейной части системы и нелинейного звена
Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена равна:
После подстановки численных значений параметров нелинейного звена получим:
Задаемся значениями a от a = b = 0,5 до ∞ и строим годограф нелинейного звена (см. рис. 9). В данном случае этот годограф совпадает с отрицательной вещественной полуосью и имеет две ветви. Минимальное значение модуля функции :
достигается при . Годографы и не пересекаются. Это означает, что состояние равновесие системы устойчиво, автоколебания отсутствуют.